Seja F: I R^n derivável em t0, com d Fd t(t0) neq 0 (vetor nulo). Dizemos que d Fd t(t0) é um vetor tangente à trajetória de F, em F(t0). A reta
X=F(t0)+lambda d Fd t(t0), lambda in R
denomina-se reta tangente à trajetória de F no ponto F(t0). Determine a equação da reta tangente à trajetória da curva dada, no ponto dado.
P(t)=(t, t^2, t, t^2) e P(1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a reta tangente à curva paramétrica P(t)=(t,t^2,t,t^2) em t0=1. O conteúdo aqui é a noção de vetor tangente a uma trajetória em R^n e a fórmula da reta tangente X=F(t0)+lambda F'(t0). Para resolver, precisamos calcular P(1), P'(t) e depois avaliar P'(1).

Passo 2

Derivamos P(t)=(t,t^2,t,t^2) componente a componente usando regra de derivada de potências. O resultado é:
P'(t)=(1,;2t,;1,;2t)

Passo 3

Agora avaliamos em t=1. Temos:
P(1)=(1,1,1,1), P'(1)=(1,2,1,2)

Passo 4

Finalmente, aplicamos a fórmula da reta tangente X=P(1)+lambda P'(1). Em forma paramétrica:
X=(1,1,1,1)+lambda(1,2,1,2), lambdainR

Resposta

A reta tangente é
X=(1,1,1,1)+lambda(1,2,1,2),lambdainR

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