De la función
se pide probar que:
no existe su límite en ( 0,0 );
no existe su límite en ( 0,0 );
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: temos a função
e queremos provar que ela não possui limite quando
se aproxima de
. Para isso, vamos precisar entender como analisar limites de funções de duas variáveis e explorar diferentes caminhos de aproximação para verificar se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 2
Primeiro, é importante saber que para uma função de duas variáveis ter um limite em um ponto específico, o valor desse limite deve ser o mesmo independentemente do caminho pelo qual nos aproximamos desse ponto. Ou seja, se conseguimos encontrar dois caminhos diferentes que levam a valores de limite distintos, então o limite da função no ponto não existe.
Passo 3
Vamos começar escolhendo alguns caminhos simples para nos aproximarmos de
e calcular o limite da função
ao longo desses caminhos.
Passo 4
Caminho 1:
Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Então, ao seguir o caminho
, o limite é 0.
Passo 5
Caminho 2:
Substituindo
na função:
Calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Assim, ao seguir o caminho
, o limite também é 0.
Passo 6
Caminho 3:
Substituindo
na função:
Calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Portanto, ao seguir o caminho
, o limite é novamente 0.
Passo 7
Caminho 4:
, onde
é uma constante real.
Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Independentemente do valor de
, o limite é sempre 0.
Passo 8
Caminho 5: Coordenadas Polares
Vamos reescrever a função em coordenadas polares, onde
e
.
Substituindo na função:
À medida que
se aproxima de 0,
se aproxima de 1. Portanto:
Independente do ângulo
, o limite é sempre 0.
Resposta
Depois de analisar vários caminhos diferentes para nos aproximarmos de
, observamos que em todos os casos o limite da função
tende a 0. Portanto, o limite existe e é igual a 0.