De la función g(x, y)=(2 x^2-y^2) e^x-y se pide probar que:
no existe su límite en ( 0,0 );

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos a função e queremos provar que ela não possui limite quando se aproxima de . Para isso, vamos precisar entender como analisar limites de funções de duas variáveis e explorar diferentes caminhos de aproximação para verificar se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que para uma função de duas variáveis ter um limite em um ponto específico, o valor desse limite deve ser o mesmo independentemente do caminho pelo qual nos aproximamos desse ponto. Ou seja, se conseguimos encontrar dois caminhos diferentes que levam a valores de limite distintos, então o limite da função no ponto não existe.

Passo 3

Vamos começar escolhendo alguns caminhos simples para nos aproximarmos de e calcular o limite da função ao longo desses caminhos.

Passo 4

Caminho 1: g(x, 0) = (2x^2 - 0^2)e^x - 0 = 2x^2 e^x
Substituindo limx to 0 2x^2 e^x = 2 cdot 0^2 cdot e^0 = 0 na função:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Então, ao seguir o caminho , o limite é 0.

Passo 5

Caminho 2: g(0, y) = (2 cdot 0^2 - y^2)e^0 - y = -y^2 e^-y
Substituindo limy to 0 -y^2 e^-y = -0^2 cdot e^0 = 0 na função:
Calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Assim, ao seguir o caminho , o limite também é 0.

Passo 6

Caminho 3: g(x, x) = (2x^2 - x^2)e^x - x = x^2 e^0 = x^2
Substituindo limx to 0 x^2 = 0 na função:
Calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Portanto, ao seguir o caminho , o limite é novamente 0.

Passo 7

Caminho 4: g(x, kx) = (2x^2 - (kx)^2)e^x - kx = (2 - k^2)x^2 e^x(1 - k) , onde limx to 0 (2 - k^2)x^2 e^x(1 - k) = (2 - k^2) cdot 0^2 cdot e^0 = 0 é uma constante real.
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Independentemente do valor de , o limite é sempre 0.

Passo 8

Caminho 5: Coordenadas Polares
Vamos reescrever a função em coordenadas polares, onde g(r costheta, r sintheta) = (2(r costheta)^2 - (r sintheta)^2)e^r costheta - r sintheta = r^2 (2cos^2theta - sin^2theta) e^r(costheta - sintheta) e limr to 0 g(r costheta, r sintheta) = limr to 0 r^2 (2cos^2theta - sin^2theta) = 0 .
Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, se aproxima de 1. Portanto:
Independente do ângulo , o limite é sempre 0.

Resposta

Depois de analisar vários caminhos diferentes para nos aproximarmos de , observamos que em todos os casos o limite da função tende a 0. Portanto, o limite existe e é igual a 0.

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