Halla el rotacional del campo G y div G(0,0,0) siendo G(x, y, z)=(x+e^x y z) i+(y+e^x y z) j+(z+e^x y z) k.
Interpreta el último resultado.

Passo 1

La cuestión pide hallar el rotacional nabla times G del campo vectorial G(x,y,z)=(x+e^xyz),i+(y+e^xyz),j+(z+e^xyz),k y calcular la divergencia nabla cdot G en el punto (0,0,0). Vamos a usar derivadas parciales para estas operaciones de cálculo vectorial.

Passo 2

Recordemos que el rotacional de un campo G=(Gx,Gy,Gz) se define como
nabla times G = (partialy Gz - partialz Gy),i - (partialx Gz - partialz Gx),j + (partialx Gy - partialy Gx),k
Para aplicarlo, calculamos las derivadas parciales de los componentes de G.

Passo 3

Tenemos Gz = z + e^xyz y Gy = y + e^xyz. Entonces
partialy Gz = xz e^xyz,
partialz Gy = xy e^xyz
Por lo tanto la componente i es
x(z - y)e^xyz = xz e^xyz - xy e^xyz

Passo 4

Para j usamos Gz y Gx = x + e^xyz:
partialx Gz = yz e^xyz,
partialz Gx = xy e^xyz
Luego
(xy - yz)e^xyz = -(yz e^xyz - xy e^xyz)

Passo 5

Para k usamos Gy y Gx:
partialx Gy = yz e^xyz,
partialy Gx = xz e^xyz
Así
z(y - x)e^xyz = yz e^xyz - xz e^xyz

Passo 6

Reuniendo las tres componentes, obtenemos
nabla times G = e^xyzl(x(z - y),i + (xy - yz),j + z(y - x),kr)
Para la divergencia,
nabla cdot G = partialx Gx + partialy Gy + partialz Gz = (1 + yz e^xyz) + (1 + xz e^xyz) + (1 + xy e^xyz) = 3 + (xy + xz + yz)e^xyz

Passo 7

En (0,0,0) tenemos xy = xz = yz = 0 y e^0 = 1, así
nabla cdot G(0,0,0) = 3
La divergencia positiva indica que en ese punto el campo actúa como una fuente neta de densidad 3.

Resposta

[\nabla \times G = e^{xyz}\bigl(x(z - y)i + (xy - yz)j + z(y - x)k\bigr)\]
[\nabla \cdot G(0,0,0) = 3\]

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