Halla el rotacional del campo G y div
siendo
.
Interpreta el último resultado.
Interpreta el último resultado.
Passo 1
La cuestión pide hallar el rotacional
del campo vectorial
y calcular la divergencia
en el punto
. Vamos a usar derivadas parciales para estas operaciones de cálculo vectorial.
Passo 2
Recordemos que el rotacional de un campo
se define como
Para aplicarlo, calculamos las derivadas parciales de los componentes de
.
Passo 3
Tenemos
y
. Entonces
Por lo tanto la componente
es
Passo 4
Para
usamos
y
:
Luego
Passo 5
Para
usamos
y
:
Así
Passo 6
Reuniendo las tres componentes, obtenemos
Para la divergencia,
Passo 7
En
tenemos
y
, así
La divergencia positiva indica que en ese punto el campo actúa como una fuente neta de densidad 3.
Resposta
[\nabla \times G = e^{xyz}\bigl(x(z - y)i + (xy - yz)j + z(y - x)k\bigr)\]
[\nabla \cdot G(0,0,0) = 3\]