1. (UEPB) Jogando-se um dado honesto duas vezes, a probabilidade de se obter a soma dos pontos menor ou igual a oito será:
    a) \frac{13}{18}
    b) \frac{7}{12}
    c) \frac{5}{6}
    d) \frac{2}{3}
    e) \frac{3}{5}

Passo 1

O enunciado diz que um dado honesto é lançado \,2\, vezes e pergunta qual é a probabilidade de a soma dos pontos ser menor ou igual a \,8\,.\n
Informações dadas:\n
  • Cada lançamento tem \,6\, faces numeradas de \,1\, a \,6\,.\n
  • Os lançamentos são independentes (o resultado do primeiro não afeta o segundo).\n
    Pergunta que devemos responder:\n
  • Calcular a probabilidade de que a soma dos resultados dos dois lançamentos seja \le 8.

Passo 2

Conceito básico usado: quando todos os resultados são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
\frac{\text{número de resultados favoráveis}}{\text{número de resultados possíveis}}.úáúí
Aqui os resultados possíveis são todos os pares ordenados (i,j) com i\in\{1,\dots,6\} e j\in\{1,\dots,6\}. Então o número total de resultados possíveis é
6\times 6 = 36.

Passo 3

Agora vamos contar os resultados favoráveis: pares (i,j) tal que i+j \le 8. É mais fácil contar por soma. Para cada soma s entre \,2\, e \,8\, contamos quantos pares ordenados dão essa soma. A distribuição padrão é:
\begin{aligned} \text{soma }2&:\;1\text{ forma} \\\ \text{soma }3&:\;2\text{ formas} \\\ \text{soma }4&:\;3\text{ formas} \\\ \text{soma }5&:\;4\text{ formas} \\\ \text{soma }6&:\;5\text{ formas} \\\ \text{soma }7&:\;6\text{ formas} \\\ \text{soma }8&:\;5\text{ formas} \end{aligned}
(essa lista vem do fato de que o número de pares (i,j) com i+j=s cresce até s=7 e depois decresce, pois i e j estão limitados a \{1,\dots,6\}.)

Passo 4

Somamos as quantidades para as somas \le 8:
1+2+3+4+5+6+5.
Calcule passo a passo:
1+2=3,\quad 3+3=6,\quad 6+4=10,\quad 10+5=15,\quad 15+6=21,\quad 21+5=26.
Portanto há \,26\, resultados favoráveis.

Passo 5

A probabilidade pedida é
\frac{26}{36}.
Simplificamos essa fração dividindo numerador e denominador por \,2\,:
\frac{26}{36}=\frac{13}{18}.

Passo 6

Verificação alternativa (método do complemento) para dar segurança: contar as somas maiores que \,8\,, ou seja somas \,9,10,11,12\,. Seus números de formas são 4,3,2,1 respectivamente, totalizando 4+3+2+1=10 formas. Então a probabilidade do complemento é \frac{10}{36} e a probabilidade desejada é
1-\frac{10}{36}=\frac{26}{36}=\frac{13}{18},
mesma resposta, conferida.

Resposta

a) \dfrac{13}{18}

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