(UERJ) O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, x dias após a liberação de um predador no seu ambiente, é expresso pela seguinte função:
f(x)=\log _{5 \sqrt[3]{5}}\left(x^{4}\right)
Após cinco dias da liberação do predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no ambiente será igual a:
a) 3
b) 4
c) 300
d) 400
e) 500

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\log_{5\sqrt[3]{5}}\left(x^{4}\right)
e diz que f(x) representa o número, em centenas de indivíduos, de um grupo de animais x dias após a liberação de um predador. A pergunta é: “Após cinco dias ( x=5), qual é o número de indivíduos desse grupo presentes no ambiente?” As alternativas são: (a) 3, (b) 4, (c) 300, (d) 400, (e) 500.

Passo 2

Vamos primeiro simplificar a base do logaritmo. A base é 5\sqrt[3]{5}. Lembrando que \sqrt[3]{5}=5^{1/3}, portanto
5\sqrt[3]{5}=5\cdot 5^{1/3}=5^{1+\tfrac{1}{3}}=5^{\tfrac{4}{3}}.
Ou seja, a base do logaritmo é 5^{\tfrac{4}{3}}.

Passo 3

Vou usar uma propriedade útil de logaritmos. Para quaisquer a>0 (com a\neq1), b>0, e números reais m,k com k\neq0, vale:
\log_{a^{k}}\left(b^{m}\right)=\frac{m}{k}\log_{a}b.
Explicando por que: aplicar mudança de base com logaritmo na mesma base a,
\log_{a^{k}}\left(b^{m}\right)=\frac{\log_{a}\left(b^{m}\right)}{\log_{a}\left(a^{k}\right)} =\frac{m\log_{a}b}{k}.
Aqui \log_{a}b é o logaritmo de b na base a; \log_{a}\left(b^{m}\right) significa m\log_{a}b pela propriedade do expoente.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso f(x), com a=5, k=\tfrac{4}{3} e m=4, obtemos
f(x)=\log_{5^{\tfrac{4}{3}}}\left(x^{4}\right)=\frac{4}{\tfrac{4}{3}}\log_{5}x.
Agora simplifico o coeficiente: \dfrac{4}{\tfrac{4}{3}}=4\cdot\dfrac{3}{4}=3. Assim
f(x)=3\log_{5}x.
Comentário rápido: isso significa que a função original é equivalente a três vezes o logaritmo base 5 de x.

Passo 5

Agora avalio em x=5:
f(5)=3\log_{5}5.
Como \log_{5}5=1 (o logaritmo de uma base em si vale 1), segue que
f(5)=3\cdot 1=3.

Passo 6

Lembre-se do enunciado: f(x) dá o número em centenas de indivíduos. Encontramos f(5)=3, isto é, 3 centenas de indivíduos. Convertendo para número de indivíduos:
3\\ \text{centenas} = 3\times 100 = 300\\ \text{indivíduos}.í
Portanto a alternativa correta é a que corresponde a 300.

Resposta

c) 300

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