(Enem) Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida.
Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo:
Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;
Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.
Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que
e P (III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III.
Comparando-se essas probabilidades, obtém-se
a)
(II)
b) P (II)
(I)
(III)
c)
(II)
(III)
d)
e)
Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo:
Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;
Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.
Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que
Comparando-se essas probabilidades, obtém-se
a)
b) P (II)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que temos 20 equipes de 10 atletas (200 atletas no total) e só um desses atletas usou substância proibida. Queremos comparar as probabilidades dele ser sorteado em três modos diferentes de teste antidoping. O conteúdo é de probabilidade básica (amostragem uniforme, probabilidade condicional e lei da probabilidade total). Vamos precisar lembrar que, num sorteio em que se escolhe
itens de
sem reposição, cada item tem probabilidade
, e também usar a ideia de probabilidade condicional:
Passo 2
Modo I – sortear 3 atletas dentre os 200.
Aqui todos têm mesma chance, e são 3 vagas para 200 atletas. Logo, a probabilidade do cara dopado ser escolhido é bem simples:
Aqui todos têm mesma chance, e são 3 vagas para 200 atletas. Logo, a probabilidade do cara dopado ser escolhido é bem simples:
Isso vem da ideia de amostragem uniforme: cada atleta tem chance
.
Passo 3
Modo II – primeiro sorteia uma equipe (20 equipes), depois 3 atletas dessa equipe (10 atletas).
- A probabilidade de a equipe do dopado ser sorteada é
. - Dado que é essa equipe, a chance dele ser um dos 3 escolhidos entre 10 é
.
Pela probabilidade total (ou condicional):
Passo 4
Modo III – primeiro sorteia 3 equipes, depois 1 atleta de cada uma.
- A chance da equipe do dopado estar entre as 3 sorteadas de 20 é
. - Dado que está, a chance dele ser o 1 atleta escolhido naquela equipe de 10 é
.
De novo, pela probabilidade condicional:
Passo 5
Agora é só comparar:
Todas são iguais!
Resposta
e)