(Enem) Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida.
Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo:
Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;
Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.
Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(I I) e P (III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III.
Comparando-se essas probabilidades, obtém-se
a) P(I) (II)
b) P (II) (I) (III)
c) P(I) (II) =P (III)
d) P(I)=P(I I)
e) P(I)=P(I I)=P(I I I)

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que temos 20 equipes de 10 atletas (200 atletas no total) e só um desses atletas usou substância proibida. Queremos comparar as probabilidades dele ser sorteado em três modos diferentes de teste antidoping. O conteúdo é de probabilidade básica (amostragem uniforme, probabilidade condicional e lei da probabilidade total). Vamos precisar lembrar que, num sorteio em que se escolhe P(A)=sumi P(Amid Bi)P(Bi) itens de sem reposição, cada item tem probabilidade , e também usar a ideia de probabilidade condicional:

Passo 2

Modo I – sortear 3 atletas dentre os 200.
Aqui todos têm mesma chance, e são 3 vagas para 200 atletas. Logo, a probabilidade do cara dopado ser escolhido é bem simples:
P(I)=3200
Isso vem da ideia de amostragem uniforme: cada atleta tem chance .

Passo 3

Modo II – primeiro sorteia uma equipe (20 equipes), depois 3 atletas dessa equipe (10 atletas).
  1. A probabilidade de a equipe do dopado ser sorteada é P(II)=P(equipe)times P(at<=tamid equipe) =120times310 =3200 .
  2. Dado que é essa equipe, a chance dele ser um dos 3 escolhidos entre 10 é .
    Pela probabilidade total (ou condicional):

Passo 4

Modo III – primeiro sorteia 3 equipes, depois 1 atleta de cada uma.
  1. A chance da equipe do dopado estar entre as 3 sorteadas de 20 é P(III)=320times110 =3200 .
  2. Dado que está, a chance dele ser o 1 atleta escolhido naquela equipe de 10 é .
    De novo, pela probabilidade condicional:

Passo 5

Agora é só comparar:
P(I)=3200, P(II)=3200, P(III)=3200
Todas são iguais!

Resposta

e)

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