(Enem) Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com a coloração, valem de 1 a 15 pontos (um valor para cada bola colorida).
O jogador acerta o taco na bola branca de forma que esta acerte as outras, com o objetivo de acertar duas das quinze bolas em quaisquer caçapas. Os valores dessas duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes do início da jogada. Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12 , 17 e 22 como sendo resultados de suas respectivas somas. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é
a) Arthur, pois a soma que escolheu é a menor.
b) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 4 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
c) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
d) Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 8 possibilidades para a escolha de Bernardo.
e) Caio, pois a soma que escolheu é a maior.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos 15 bolas coloridas com valores de 1 a 15, e o jogador escolhe de antemão uma soma alvo ao encaçapar duas delas. Arthur escolheu 12, Bernardo 17 e Caio 22. Queremos saber quem tem mais chances de “acertar” essa soma.
Conteúdo da matéria: noções de contagem e probabilidade básica (contar pares favoráveis e comparar). Vamos precisar contar todas as formas de escolher 2 bolas dentre as 15 (unidades de combinação) e, para cada soma alvo, contar quantos pares (a,b) distintos satisfazem .

Passo 2

Primeiro, quantos pares de bolas existem no total?
A gente usa combinação:
binom152 = 15 times 142 = 105
Isso significa que, de forma igualmente provável, há 105 pares distintos de bolas.

Passo 3

Agora, vamos contar quantos pares somam 12 (caso do Arthur). Precisamos de e .
Lista as soluções:
.
Repare que não vale pois a mesma bola não pode ser escolhida duas vezes.
Total de pares para soma 12: 5.

Passo 4

Para a soma 17 (Bernardo), achamos os pares com e :
.
Total de pares para soma 17: 7.

Passo 5

Para a soma 22 (Caio), fazemos o mesmo: com e :
.
Total de pares para soma 22: 4.

Passo 6

Agora, a probabilidade de cada um é número de pares favoráveis dividido por 105 (o total), mas basta comparar os numeradores:
  • Arthur (12): 5 pares
  • Bernardo (17): 7 pares
  • Caio (22): 4 pares
Quem tem mais pares favoráveis ganha mais probabilidade. É o Bernardo.

Resposta

Bernardo, opção ©.

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