(Enem) Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com a coloração, valem de 1 a 15 pontos (um valor para cada bola colorida).
O jogador acerta o taco na bola branca de forma que esta acerte as outras, com o objetivo de acertar duas das quinze bolas em quaisquer caçapas. Os valores dessas duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes do início da jogada. Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12 , 17 e 22 como sendo resultados de suas respectivas somas. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é
a) Arthur, pois a soma que escolheu é a menor.
b) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 4 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
c) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
d) Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 8 possibilidades para a escolha de Bernardo.
e) Caio, pois a soma que escolheu é a maior.
O jogador acerta o taco na bola branca de forma que esta acerte as outras, com o objetivo de acertar duas das quinze bolas em quaisquer caçapas. Os valores dessas duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes do início da jogada. Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12 , 17 e 22 como sendo resultados de suas respectivas somas. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é
a) Arthur, pois a soma que escolheu é a menor.
b) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 4 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
c) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
d) Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 8 possibilidades para a escolha de Bernardo.
e) Caio, pois a soma que escolheu é a maior.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos 15 bolas coloridas com valores de 1 a 15, e o jogador escolhe de antemão uma soma alvo ao encaçapar duas delas. Arthur escolheu 12, Bernardo 17 e Caio 22. Queremos saber quem tem mais chances de “acertar” essa soma.
Conteúdo da matéria: noções de contagem e probabilidade básica (contar pares favoráveis e comparar). Vamos precisar contar todas as formas de escolher 2 bolas dentre as 15 (unidades de combinação) e, para cada soma alvo, contar quantos pares (a,b) distintos satisfazem .
Conteúdo da matéria: noções de contagem e probabilidade básica (contar pares favoráveis e comparar). Vamos precisar contar todas as formas de escolher 2 bolas dentre as 15 (unidades de combinação) e, para cada soma alvo, contar quantos pares (a,b) distintos satisfazem
Passo 2
Primeiro, quantos pares de bolas existem no total?
A gente usa combinação:
A gente usa combinação:
Isso significa que, de forma igualmente provável, há 105 pares distintos de bolas.
Passo 3
Agora, vamos contar quantos pares somam 12 (caso do Arthur). Precisamos de
e
.
Lista as soluções:
.
Repare que não vale pois a mesma bola não pode ser escolhida duas vezes.
Total de pares para soma 12: 5.
Lista as soluções:
Repare que
Total de pares para soma 12: 5.
Passo 4
Para a soma 17 (Bernardo), achamos os pares
com
e
:
.
Total de pares para soma 17: 7.
Total de pares para soma 17: 7.
Passo 5
Para a soma 22 (Caio), fazemos o mesmo:
com
e
:
.
Total de pares para soma 22: 4.
Total de pares para soma 22: 4.
Passo 6
Agora, a probabilidade de cada um é número de pares favoráveis dividido por 105 (o total), mas basta comparar os numeradores:
- Arthur (12): 5 pares
- Bernardo (17): 7 pares
- Caio (22): 4 pares
Quem tem mais pares favoráveis ganha mais probabilidade. É o Bernardo.
Resposta
Bernardo, opção ©.