(Enem) Em um laboratório, cientistas observaram o crescimento de uma população de bactérias submetida a uma dieta magra em fósforo, com generosas porções de arsênico. Descobriu-se que o número de bactérias dessa população, após ^t horas de observação, poderia ser modelado pela função exponencial N(t)=N0 e^k t, em que ^N0 é o número de bactérias no instante do início da observação ( t=0 ) e representa uma constante real maior que ^1, e k é uma constante real positiva.
Sabe-se que, após uma hora de observação, o número de bactérias foi triplicado.
Cinco horas após o início da observação, o número de bactérias, em relação ao número inicial dessa cultura, foi
a) 3 N0
b) 15 N0
c) 243 N0
d) 360 N0
e) 729 N0

Passo 1

Beleza! O problema é sobre crescimento exponencial de bactérias no formato
,
onde é a quantidade inicial e é a constante de crescimento.
A gente sabe que em 1 hora a população triplicou (ou seja, ).
O que precisamos usar:
  • A fórmula de crescimento exponencial.
  • Propriedade de logaritmo/exponencial pra achar .
  • Substituir pra descobrir em função de .

Passo 2

Vamos achar N(1)=N0 e^kcdot1=3N0 .
Sabemos que
e^k = 3
Divide os dois lados por k = ln(3) :
Agora, pra isolar , aplicamos log natural:

Passo 3

Com N(5) = N0 e^kcdot5 = N0 e^5ln3 , calculamos a população em 5 horas:
N(5) = N0 cdot 3^5 = N0 cdot 243
Lembra da propriedade e . Logo:

Resposta

Letra ©: .

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