(Enem) O matemático americano Eduardo Kasner pediu ao filho que desse um nome a um número muito grande, que consistia do algarismo 1 seguido de 100 zeros. Seu filho batizou o número de gugol. Mais tarde, o mesmo matemático criou um número que apelidou de gugolplex, que consistia em 10 elevado a um gugol.
Quantos algarismos tem um gugolplex?
a) 100
b) 101
c) 10^{100}
d) 10^{100}+1
e) 10^{1000}+1

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado diz que um gugol é o número formado pelo algarismo 1 seguido de 100 zeros. Vou chamar esse número de \text{g}.
  • O enunciado diz que um gugolplex é 10 elevado a um gugol. Ou seja, o gugolplex é 10^{\text{g}}.
  • A pergunta: quantos algarismos tem um gugolplex?
  • As alternativas dadas são:
    • a) 100
    • b) 101
    • c) 10^{100}
    • d) 10^{100}+1
    • e) 10^{1000}+1

Passo 2

Entender a representação decimal de potências de 10. Exemplos pequenos que ajudam a ver o padrão:
  • \;10^{0}=1 tem 1 algarismo.
  • \;10^{1}=10 tem 2 algarismos.
  • \;10^{2}=100 tem 3 algarismos.
Perceba o padrão: \;10^{n} é o número 1 seguido de n zeros, logo tem n+1 algarismos. Vou explicar por quê de forma direta: escrever 10^{n} em base decimal é exatamente um algarismo 1 seguido de n zeros, então o total de dígitos é o 1 mais os n zeros.

Passo 3

Uma formulação geral (útil às vezes) — número de algarismos de um inteiro positivo N:
Se existir inteiro k tal que
10^{k-1}\le N<10^{k},
então N tem exatamente k algarismos. Equivalentemente,
\text{nº de algarismos de }N=\lfloor\log_{10}(N)\rfloor+1.º
Aqui \lfloor x\rfloor é a função “parte inteira” (floor) de x. Não precisamos usar essa fórmula aqui, é só para você ver a conexão com logaritmos.

Passo 4

Aplicar ao gugol e ao gugolplex:
  • O gugol foi definido como “1 seguido de 100 zeros”, portanto
\text{g} = 10^{100}.
  • O gugolplex é 10 elevado a um gugol, isto é
\text{gugolplex} = 10^{\text{g}} = 10^{10^{100}}.
Agora, usando o padrão do Passo 2: para um inteiro m, \;10^{m} tem m+1 algarismos. Aqui m=\text{g}=10^{100}. Logo o gugolplex tem
10^{100}+1
algarismos.

Passo 5

Comparando com as alternativas fornecidas, a expressão obtida corresponde à alternativa (d).

Resposta

d) 10^{100}+1

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