(Enem) O matemático americano Eduardo Kasner pediu ao filho que desse um nome a um número muito grande, que consistia do algarismo 1 seguido de 100 zeros. Seu filho batizou o número de gugol. Mais tarde, o mesmo matemático criou um número que apelidou de gugolplex, que consistia em 10 elevado a um gugol.
Quantos algarismos tem um gugolplex?
a) 100
b) 101
c)
d)
e)
Quantos algarismos tem um gugolplex?
a) 100
b) 101
c)
d)
e)
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado diz que um gugol é o número formado pelo algarismo 1 seguido de 100 zeros. Vou chamar esse número de
. - O enunciado diz que um gugolplex é
elevado a um gugol. Ou seja, o gugolplex é . - A pergunta: quantos algarismos tem um gugolplex?
- As alternativas dadas são:
- a)
- b)
- c)
- d)
- e)
- a)
Passo 2
Entender a representação decimal de potências de
. Exemplos pequenos que ajudam a ver o padrão:
-
tem algarismo. -
tem algarismos. -
tem algarismos.
Perceba o padrão:
é o número
seguido de
zeros, logo tem
algarismos. Vou explicar por quê de forma direta: escrever
em base decimal é exatamente um algarismo
seguido de
zeros, então o total de dígitos é o
mais os
zeros.
Passo 3
Uma formulação geral (útil às vezes) — número de algarismos de um inteiro positivo
:
Se existir inteiro
tal que
então
tem exatamente
algarismos. Equivalentemente,
Aqui
é a função “parte inteira” (floor) de
. Não precisamos usar essa fórmula aqui, é só para você ver a conexão com logaritmos.
Passo 4
Aplicar ao gugol e ao gugolplex:
- O gugol foi definido como “1 seguido de 100 zeros”, portanto
- O gugolplex é
elevado a um gugol, isto é
Agora, usando o padrão do Passo 2: para um inteiro
,
tem
algarismos. Aqui
. Logo o gugolplex tem
algarismos.
Passo 5
Comparando com as alternativas fornecidas, a expressão obtida corresponde à alternativa (d).
Resposta
d)