1. (ENEM). Para serrar ossos e carnes congeladas, um açougueiro utiliza uma serra de fita que possui três polias e um motor. O equipamento pode ser montado de duas maneiras diferentes, P e Q. Por questão de segurança, é necessário que a serra possua a menor velocidade linear.
    Por qual montagem o açougueiro deve optar e qual a justificativa desta opção?
    a) Q, pois as polias 1 e 3 giram com velocidades lineares iguais em pontos periféricos e a que tiver maior raio terá menor frequência.
    b) Q, pois as polias 1 e 3 giram com frequências iguais e a que tiver maior raio terá menor velocidade linear em um ponto periférico.
    c) P , pois as polias 2 e 3 giram com frequências diferentes e a que tiver maior raio terá menor velocidade linear em um ponto periférico.
    d) P, pois as polias 1 e 2 giram com diferentes velocidades lineares em pontos periféricos e a que tiver menor raio terá maior frequência.
    e) Q, pois as polias 2 e 3 giram com diferentes velocidades lineares em pontos periféricos e a que tiver maior raio terá menor frequência.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Escolher entre a montagem P ou a montagem Q para que a serra de fita tenha a menor velocidade linear (por segurança).
  • Justificar a escolha.
Informações relevantes fornecidas (peguei da imagem):
  • Há três polias numeradas 1,2,3 e um motor com a polia 1.
  • As polias 2 e 3 são coaxiais (mesmo eixo) em ambas as montagens, ou seja, giram solidárias uma à outra.
  • Na montagem P a correia do motor liga a polia 1 à polia 2 (a polia 2 é a que recebe diretamente o movimento da polia 1).
  • Na montagem Q a correia do motor liga a polia 1 diretamente à polia 3.
  • Na figura a polia 3 tem raio maior que a polia 2 (ou seja, R_3>R_2).

Passo 2

Definição e fórmula-chave (aulas rápidas):
  • A velocidade linear (tangencial) na periferia de uma polia é dada por \;v=\omega R\;, onde:
    • \;v\; é a velocidade linear na borda da polia (m/s),
    • \;\omega\; é a velocidade angular (rad/s),
    • \;R\; é o raio da polia (m).
  • Interpretação: quanto maior o raio para uma mesma \omega, maior será v; para uma mesma v, quanto maior o raio, menor será \omega (pois \omega=v/R).

Passo 3

Propriedades do sistema de correias (importante para montar as igualdades):
  • Quando duas polias são ligadas por uma mesma correia que não escorrega, a velocidade linear da correia é a mesma em ambas as polias no ponto de contato. Logo, se a correia liga as polias i e j vale \omega_i R_i = \omega_j R_j.
  • Quando duas polias são coaxiais e presas rigidamente, elas têm a mesma velocidade angular: \omega_2=\omega_3 (no nosso caso, polias 2 e 3).

Passo 4

Expressão da velocidade da serra na montagem P (aplico as regras acima; usei o fato da imagem que em P a correia liga 1 a 2 e que 2 e 3 são coaxiais):
  • Denotando raios e velocidades angulares por \;R_1,R_2,R_3\; e \;\omega_1,\omega_2,\omega_3\;,
  • Da correia entre 1 e 2: \;\omega_1 R_1=\omega_2 R_2\;.
  • Como 2 e 3 são coaxiais: \;\omega_2=\omega_3\;.
  • A velocidade linear na periferia da polia 3 (que é a que transmite movimento à serra) é v_{\text{serra},P}=\omega_3 R_3.
  • Substituindo \omega_3=\omega_2 e isolando \omega_2 a partir da primeira igualdade: \omega_2=\omega_1\frac{R_1}{R_2},então v_{\text{serra},P}=\omega_3 R_3=\omega_2 R_3 =\omega_1\frac{R_1}{R_2}\,R_3 =\omega_1 R_1\left(\frac{R_3}{R_2}\right).

Passo 5

Expressão da velocidade da serra na montagem Q (usei o fato da imagem que em Q a correia liga 1 a 3):
  • Da correia entre 1 e 3: \;\omega_1 R_1=\omega_3 R_3\;.
  • A velocidade linear na periferia da polia 3 (a que aciona a serra) é v_{\text{serra},Q}=\omega_3 R_3.
  • Usando a igualdade da correia obtemos diretamente v_{\text{serra},Q}=\omega_1 R_1.(observação: nesta montagem a velocidade linear da serra é igual à velocidade linear na periferia da polia do motor.)

Passo 6

Comparação entre v_{\text{serra},P} e v_{\text{serra},Q}:
  • Usando as expressões obtidas: v_{\text{serra},P}= \omega_1 R_1\left(\frac{R_3}{R_2}\right), \qquad v_{\text{serra},Q}= \omega_1 R_1.
  • Portanto a razão é \frac{v_{\text{serra},P}}{v_{\text{serra},Q}}=\frac{\omega_1 R_1\left(\dfrac{R_3}{R_2}\right)}{\omega_1 R_1}=\frac{R_3}{R_2}.
  • Como, pela imagem, \;R_3>R_2\;, tem-se \dfrac{R_3}{R_2}>1, logo v_{\text{serra},P}>v_{\text{serra},Q}.
  • Conclusão física simples e intuitiva: na montagem P o motor faz girar uma polia menor que, por ligação rígida com a polia maior, resulta em maior velocidade na periferia da polia maior (efeito de “multiplicação” de velocidade). Na montagem Q o motor aciona diretamente a polia maior pela correia, então a velocidade periférica da polia maior não é ampliada por essa relação e fica menor.

Passo 7

Escolha da alternativa correta entre as dadas:
  • A montagem que fornece menor velocidade linear é a montagem Q.
  • Agora veja qual justificativa das alternativas bate com a verdade física:
    • A alternativa (a) afirma que em Q as polias 1 e 3 giram com velocidades lineares iguais nos pontos periféricos (isto é verdadeiro, por estarem ligadas pela correia) e que a que tiver maior raio terá menor frequência (também verdadeiro: para mesma v vale \omega=v/R, logo maior R implica menor \omega). Essas afirmações são corretas e compatíveis com a escolha de Q por segurança (menor velocidade linear na serra).
    • As outras alternativas contêm declarações falsas sobre quais pares têm velocidades iguais/diferentes ou sobre quem é acionado pela correia.
  • Portanto a alternativa correta é a (a).

Resposta

a)

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