1. Duas polias, A e B, ligadas por uma correia tem 10 cm e 20 cm de raio, respectivamente. A primeira efetua 40 rpm . Qual a frequência a angular da segunda polia?
    a) f_{B}=20 \mathrm{rpm}
    b) \mathrm{f}_{\mathrm{B}}=35 \mathrm{rpm}
    c) \mathrm{f}_{\mathrm{B}}=30 \mathrm{rpm}
    d) \mathrm{f}_{\mathrm{B}}=25 \mathrm{rpm}
    e) \mathrm{f}_{\mathrm{B}}=10 \mathrm{rpm}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Raio da polia A: R_A=10\\ \mathrm{cm}.
  • Raio da polia B: R_B=20\\ \mathrm{cm}.
  • Frequência de rotação da polia A: f_A=40\\ \mathrm{rpm}.
O que o problema pede:
  • Determinar a frequência de rotação da polia B (a alternativa correta entre as opções fornecidas).

Passo 2

Conceito físico essencial (explicação didática e simples).
  • Uma correia sem deslizar faz com que os pontos em contato das duas polias tenham a mesma velocidade linear tangencial. Isso significa que a velocidade linear na borda da polia A é igual à velocidade linear na borda da polia B:
v_A = v_B.
  • Relação entre velocidade linear tangencial v, raio R e frequência de rotação f (em rotações por unidade de tempo): a cada volta a borda percorre um comprimento igual à circunferência 2\pi R. Se a polia dá f voltas por unidade de tempo, a velocidade tangencial é
v = 2\pi R f.
Aqui:
  • v é a velocidade tangencial (unidade de comprimento/unidade de tempo),
  • R é o raio (mesma unidade de comprimento),
  • f é a frequência de rotações (em voltas por unidade de tempo; no enunciado usamos \mathrm{rpm} — rotações por minuto).

Passo 3

Usando v_A=v_B e a fórmula v=2\pi R f, obtemos
2\pi R_A f_A = 2\pi R_B f_B.
Cancelando 2\pi em ambos os lados:
R_A f_A = R_B f_B.
Isolando f_B:
f_B = \frac{R_A}{R_B}\,f_A.
Essa fórmula diz: a frequência da polia menor/maior é proporcional à razão dos raios — polia maior gira mais devagar, polia menor gira mais rápido.

Passo 4

Substituindo os valores dados ( R_A=10\\ \mathrm{cm}, R_B=20\\ \mathrm{cm}, f_A=40\\ \mathrm{rpm}):
f_B = \frac{10\\ \mathrm{cm}}{20\\ \mathrm{cm}}\cdot 40\\ \mathrm{rpm}.
As unidades de comprimento cancelam:
f_B = \frac{10}{20}\cdot 40\\ \mathrm{rpm}.

Passo 5

Cálculo numérico direto:
\frac{10}{20}=\tfrac{1}{2}, \qquad f_B = \tfrac{1}{2}\cdot 40\\ \mathrm{rpm} = 20\\ \mathrm{rpm}.
Observação didática extra (útil na prova): se for preciso a velocidade angular em rad/s, transformar 20\\ \mathrm{rpm} para \mathrm{rev/s} e depois multiplicar por 2\pi:
20\\ \mathrm{rpm} = \frac{20}{60}\\ \mathrm{rev/s}=\tfrac{1}{3}\\ \mathrm{rev/s}, \qquad \omega_B = 2\pi f_B = 2\pi\cdot\tfrac{1}{3} = \tfrac{2\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}\approx 2{,}094\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Checagem rápida por raciocínio: como a polia B tem o dobro do raio de A, ela deve girar à metade da frequência de A. Metade de 40\\ \mathrm{rpm} é 20\\ \mathrm{rpm} — consistente com o cálculo acima.

Resposta

(a) f_{B}=20\\ \mathrm{rpm}

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