Um ponto P_{1} está a uma distância r_{1}=2,0 \mathrm{~m} de uma carga q=800 \mathrm{pC}. Outro ponto P_{2} está a uma distância r_{2}=5,0 \mathrm{~m} da mesma carga q. (a) Calcule o potencial elétrico na metade da distância entre P_{1} e P_{2}. (b) Determine a diferença de potencial V_{1}-V_{2}, onde V_{1} é o potencial elétrico no ponto P_{1} e V_{2} é o potencial elétrico no ponto P_{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Dados:
    • q=800\\ \mathrm{pC}.
    • r_{1}=2{,}0\\ \mathrm{m} (distância do ponto P_{1} até a carga).
    • r_{2}=5{,}0\\ \mathrm{m} (distância do ponto P_{2} até a carga).
  • Pedidos:
    • (a) Calcular o potencial elétrico no ponto que está na metade da distância entre P_{1} e P_{2} (ou seja, no ponto a meio caminho entre as distâncias r_{1} e r_{2}).
    • (b) Determinar a diferença de potencial V_{1}-V_{2}, onde V_{1} é o potencial em P_{1} e V_{2} é o potencial em P_{2}.

Passo 2

Fórmula básica que vamos usar: o potencial elétrico devido a uma carga puntiforme, tomando o potencial nulo no infinito, é
V(r)=\frac{k\,q}{r},
onde:
  • V(r) é o potencial em volts no ponto a distância r da carga;
  • k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} é a constante eletrostática, com valor aproximado k\approx 8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}};
  • q é a carga em coulombs;
  • r é a distância em metros.
Para a diferença de potencial entre dois pontos a distâncias r_{1} e r_{2} da mesma carga vale diretamente
V_{1}-V_{2}=k\,q\!\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right),
pois subtrai-se \dfrac{kq}{r_{2}} de \dfrac{kq}{r_{1}}.

Passo 3

Primeiro converto a carga para unidades SI:
q=800\\ \mathrm{pC}=800\times10^{-12}\\ \mathrm{C}=8{,}00\times10^{-10}\\ \mathrm{C}.

Passo 4

Determino a distância do ponto médio (metade da distância entre r_{1} e r_{2}):
r_{\text{meio}}=\frac{r_{1}+r_{2}}{2}=\frac{2{,}0+5{,}0}{2}=3{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calculo o potencial no ponto médio usando V=\dfrac{kq}{r}.
Primeiro calculemos o produto kq:
kq=(8{,}988\times10^{9})\times(8{,}00\times10^{-10})=8{,}988\times8{,}00\times10^{-1}=71{,}904\times10^{-1}=7{,}1904.
Portanto kq\approx 7{,}1904\\ \mathrm{V\cdot m}.
Agora
V_{\text{meio}}=\frac{kq}{r_{\text{meio}}}=\frac{7{,}1904}{3{,}5}=2{,}0544\\ \mathrm{V}.
Arredondando com três algarismos significativos (compatível com os dados): V_{\text{meio}}\approx2{,}05\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Para a diferença V_{1}-V_{2} posso calcular V_{1} e V_{2} separadamente ou usar a fórmula da diferença. Faço os dois para conferir.
Cálculo direto:
V_{1}=\frac{kq}{r_{1}}=\frac{7{,}1904}{2{,}0}=3{,}5952\\ \mathrm{V}\approx3{,}60\\ \mathrm{V},
V_{2}=\frac{kq}{r_{2}}=\frac{7{,}1904}{5{,}0}=1{,}43808\\ \mathrm{V}\approx1{,}44\\ \mathrm{V}.
Então
V_{1}-V_{2}=3{,}5952-1{,}43808=2{,}15712\\ \mathrm{V}.
Arredondando com três algarismos significativos: V_{1}-V_{2}\approx2{,}16\\ \mathrm{V}.
Usando a fórmula direta da diferença:
V_{1}-V_{2}=kq\!\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right)=7{,}1904\left(\frac{1}{2{,}0}-\frac{1}{5{,}0}\right)=7{,}1904(0{,}5-0{,}2)=7{,}1904\times0{,}3=2{,}15712\\ \mathrm{V},
mesmo resultado.

Passo 7

Pequeno comentário de checagem (pra te dar confiança): o potencial no ponto médio 2{,}05\\ \mathrm{V} está entre V_{2}\approx1{,}44\\ \mathrm{V} e V_{1}\approx3{,}60\\ \mathrm{V}, como esperado, porque o potencial decresce com a distância.

Resposta

(a) V_{\text{meio}}\approx2{,}05\\ \mathrm{V}
(b) V_{1}-V_{2}\approx2{,}16\\ \mathrm{V}

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