- Energia Armazenada e Trabalho em Capacitores: Um capacitor de placas paralelas tem uma capacitância de 920 pF . A magnitude da carga em cada placa é de
.
(a) Qual é a diferença de potencial entre as placas do capacitor?
(b) Se a carga nas placas for mantida constante, qual seria a nova diferença de potencial entre elas se a distância de separação fosse duplicada?
(c) Qual é o trabalho necessário para duplicar essa distância de separação, mantendo a carga constante?
- Projeto de Capacitor com Dielétrico: Um engenheiro está projetando um capacitor de placas paralelas que utilizará um dielétrico com constante dielétrica de 3,60 e uma rigidez dielétrica de
. O capacitor deve ter uma capacitância de
ser capaz de suportar uma diferença de potencial máxima de 5500 V . Determine a área mínima que cada placa do capacitor deve possuir para atender a essas especificações.
(a) Qual é a diferença de potencial entre as placas do capacitor?
(b) Se a carga nas placas for mantida constante, qual seria a nova diferença de potencial entre elas se a distância de separação fosse duplicada?
(c) Qual é o trabalho necessário para duplicar essa distância de separação, mantendo a carga constante?
Passo 1
Enunciado e dados (o que é pedido):
- Questão 4: Um capacitor de placas paralelas tem capacitância
e a magnitude da carga em cada placa é . - (a) Qual é a diferença de potencial entre as placas?
- (b) Se a carga for mantida constante e a distância entre placas for duplicada, qual a nova diferença de potencial?
- (c) Qual o trabalho necessário para duplicar a distância, mantendo a carga constante?
- Questão 5: Projetar um capacitor de placas paralelas com dielétrico de constante dielétrica
e rigidez dielétrica (campo de ruptura) . O capacitor deve ter capacitância e ser capaz de suportar diferença de potencial máxima . Determinar a área mínima de cada placa. - Valores numéricos em unidades do SI:
-
-
-
, -
, - Constante do vácuo:
-
- Observação: trabalhar com fórmulas clássicas de capacitores de placas paralelas e energia elétrica armazenada.
Passo 2
Resolvendo 4(a): relação entre carga, capacitância e diferença de potencial.
- Conceito: para qualquer capacitor, a carga
e a capacitância estão relacionadas com a diferença de potencial por
Aqui
é a carga em uma placa (em coulombs) e
é a capacitância (em farads). Essa fórmula vem da definição de capacitância:
.
- Aplicando aos números dados:
- Faço a divisão passo a passo: dividir os coeficientes e ajustar a potência de dez
Logo
- Interpretação: a diferença de potencial inicial entre as placas é aproximadamente
.
Passo 3
Resolvendo 4(b): efeito de duplicar a distância entre placas mantendo
constante.
- Conceito: para um capacitor de placas paralelas com dielétrico uniforme, a capacitância depende da separação
e da área por
onde
é a permissividade do dielétrico (para vácuo/dielétrico simples
). Note que
.
- Se a distância
é duplicada, a nova capacitância é
- Mantendo a carga constante, a nova diferença de potencial é
Ou seja, a tensão dobra.
- Numérico:
Passo 4
Resolvendo 4(c): trabalho necessário para duplicar a distância mantendo
constante (energia do capacitor).
- Conceito de energia armazenada: a energia elétrica armazenada num capacitor pode ser escrita de várias formas equivalentes; quando a carga é constante é conveniente usar
onde
é a energia armazenada (em joules). Essa fórmula vem da integração do trabalho elementar necessário para carregar o capacitor.
- Se a capacitância muda de
para mantendo fixo, o trabalho externo realizado (no sentido de separar as placas contra forças de atração) é a variação da energia do capacitor:
- Para o caso em que
(distância duplicada), temos . Substituindo:
Surpresa útil: o trabalho necessário para duplicar a distância (com carga fixa) é exatamente igual à energia inicial armazenada no capacitor.
- Agora calculo numericamente:
Calcule
:
Denominador:
Dividindo:
- Conversão intuitiva:
, isto é, cerca de .
Passo 5
Resolvendo a Questão 5: área mínima das placas, considerando rigidez dielétrica e capacitância requerida.
- Passo lógico: existem duas condições que limitam o projeto:
- A separação
deve ser grande o suficiente para que o campo elétrico não exceda a rigidez dielétrica quando for aplicado:
Assim a menor separação permitida (para evitar ruptura) é - Para capacitância de placas paralelas com dielétrico de constante
,
Para obter a área mínima devemos usar a menor permitida (pois ). - A separação
- Calculo de
:
Faço a divisão:
- Agora usar essa
na expressão de . Substituo diretamente para evitar passos extras e obtenho uma forma conveniente:
Essa forma mostra dependência direta de
e
e inversa de
,
e
.
- Substituo os valores numéricos passo a passo:
- Produto
- Produto
- Primeiro
- Multiplicando por
:
- Primeiro
- Agora a divisão:
- Produto
- Resultado em unidades práticas:
-
- Em centímetros quadrados:
-
- Interpretação: cada placa precisa ter área mínima cerca de
(aprox. ) para atingir a capacitância desejada sem romper o dielétrico a .
Resposta
(4a)
\n
(4b) \n
(4c) \n
(5) (≈
)
(4b)
(4c)
(5)