1. Energia Armazenada e Trabalho em Capacitores: Um capacitor de placas paralelas tem uma capacitância de 920 pF . A magnitude da carga em cada placa é de 3,90 \mu \mathrm{C}.
    (a) Qual é a diferença de potencial entre as placas do capacitor?
    (b) Se a carga nas placas for mantida constante, qual seria a nova diferença de potencial entre elas se a distância de separação fosse duplicada?
    (c) Qual é o trabalho necessário para duplicar essa distância de separação, mantendo a carga constante?
  2. Projeto de Capacitor com Dielétrico: Um engenheiro está projetando um capacitor de placas paralelas que utilizará um dielétrico com constante dielétrica de 3,60 e uma rigidez dielétrica de 1,60 \times 10^{7} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. O capacitor deve ter uma capacitância de 1,25 \times 10^{-9} \mathrm{Fe} ser capaz de suportar uma diferença de potencial máxima de 5500 V . Determine a área mínima que cada placa do capacitor deve possuir para atender a essas especificações.

Passo 1

Enunciado e dados (o que é pedido):
  • Questão 4: Um capacitor de placas paralelas tem capacitância \,C=920\\ \text{pF}\, e a magnitude da carga em cada placa é \,Q=3{,}90\\ \mu\text{C}\,.
    • (a) Qual é a diferença de potencial entre as placas?
    • (b) Se a carga for mantida constante e a distância entre placas for duplicada, qual a nova diferença de potencial?
    • (c) Qual o trabalho necessário para duplicar a distância, mantendo a carga constante?
  • Questão 5: Projetar um capacitor de placas paralelas com dielétrico de constante dielétrica \,\kappa=3{,}60\, e rigidez dielétrica (campo de ruptura) \,E_{\text{max}}=1{,}60\times 10^{7}\\ \text{V/m}\,. O capacitor deve ter capacitância \,C=1{,}25\times 10^{-9}\\ \text{F}\, e ser capaz de suportar diferença de potencial máxima \,V_{\max}=5500\\ \text{V}\,. Determinar a área mínima de cada placa.
  • Valores numéricos em unidades do SI:
    • \,C=920\\ \text{pF}=920\times 10^{-12}\\ \text{F}=9{,}20\times 10^{-10}\\ \text{F}\,
    • \,Q=3{,}90\\ \mu\text{C}=3{,}90\times 10^{-6}\\ \text{C}\,
    • \,\kappa=3{,}60, \,E_{\text{max}}=1{,}60\times 10^{7}\\ \text{V/m}\,
    • \,C_{\text{projeto}}=1{,}25\times 10^{-9}\\ \text{F}, \,V_{\max}=5500\\ \text{V}\,
    • Constante do vácuo: \,\varepsilon_0=8{,}854\times 10^{-12}\\ \text{F/m}\,
  • Observação: trabalhar com fórmulas clássicas de capacitores de placas paralelas e energia elétrica armazenada.

Passo 2

Resolvendo 4(a): relação entre carga, capacitância e diferença de potencial.
  • Conceito: para qualquer capacitor, a carga \,Q\, e a capacitância \,C\, estão relacionadas com a diferença de potencial \,V\, por
V=\frac{Q}{C}.
Aqui \,Q\, é a carga em uma placa (em coulombs) e \,C\, é a capacitância (em farads). Essa fórmula vem da definição de capacitância: C=Q/V.
  • Aplicando aos números dados:
V=\frac{Q}{C}=\frac{3{,}90\times 10^{-6}}{9{,}20\times 10^{-10}}.
  • Faço a divisão passo a passo: dividir os coeficientes e ajustar a potência de dez
\frac{3{,}90}{9{,}20}=0{,}423913\ldots\quad\text{e}\quad 10^{-6}/10^{-10}=10^{4}.
Logo
V=0{,}423913\ldots\times 10^{4}\\ \text{V}=4{,}239\times 10^{3}\\ \text{V}.
  • Interpretação: a diferença de potencial inicial entre as placas é aproximadamente \,4{,}24\times 10^{3}\\ \text{V}\,.

Passo 3

Resolvendo 4(b): efeito de duplicar a distância entre placas mantendo Q constante.
  • Conceito: para um capacitor de placas paralelas com dielétrico uniforme, a capacitância depende da separação d e da área A por
C=\frac{\varepsilon A}{d},
onde \varepsilon é a permissividade do dielétrico (para vácuo/dielétrico simples \varepsilon=\kappa\varepsilon_0). Note que C\propto 1/d.
  • Se a distância d é duplicada, a nova capacitância \,C'\, é
C'=\frac{C}{2}.
  • Mantendo a carga constante, a nova diferença de potencial é
V'=\frac{Q}{C'}=\frac{Q}{C/2}=2\frac{Q}{C}=2V.
Ou seja, a tensão dobra.
  • Numérico:
V'=2V=2\times 4{,}239\times 10^{3}\\ \text{V}=8{,}478\times 10^{3}\\ \text{V}.

Passo 4

Resolvendo 4(c): trabalho necessário para duplicar a distância mantendo Q constante (energia do capacitor).
  • Conceito de energia armazenada: a energia elétrica armazenada num capacitor pode ser escrita de várias formas equivalentes; quando a carga é constante é conveniente usar
U=\frac{Q^{2}}{2C},
onde U é a energia armazenada (em joules). Essa fórmula vem da integração do trabalho elementar necessário para carregar o capacitor.
  • Se a capacitância muda de C para C' mantendo Q fixo, o trabalho externo realizado (no sentido de separar as placas contra forças de atração) é a variação da energia do capacitor:
W=U'-U=\frac{Q^{2}}{2C'}-\frac{Q^{2}}{2C}=\frac{Q^{2}}{2}\left(\frac{1}{C'}-\frac{1}{C}\right).
  • Para o caso em que C'=C/2 (distância duplicada), temos \,1/C'=2/C. Substituindo:
W=\frac{Q^{2}}{2}\left(\frac{2}{C}-\frac{1}{C}\right)=\frac{Q^{2}}{2}\cdot\frac{1}{C}=\frac{Q^{2}}{2C}.
Surpresa útil: o trabalho necessário para duplicar a distância (com carga fixa) é exatamente igual à energia inicial armazenada no capacitor.
  • Agora calculo numericamente:
W=\frac{Q^{2}}{2C}=\frac{(3{,}90\times 10^{-6})^{2}}{2\times 9{,}20\times 10^{-10}}.
Calcule Q^{2}:
Q^{2}=(3{,}90\times 10^{-6})^{2}=15{,}21\times 10^{-12}=1{,}521\times 10^{-11}.
Denominador:
2C=2\times 9{,}20\times 10^{-10}=1{,}84\times 10^{-9}.
Dividindo:
W=\frac{1{,}521\times 10^{-11}}{1{,}84\times 10^{-9}}=8{,}266\times 10^{-3}\\ \text{J}.
  • Conversão intuitiva: W\approx 8{,}27\times 10^{-3}\\ \text{J}, isto é, cerca de 8{,}27\\ \text{mJ}.

Passo 5

Resolvendo a Questão 5: área mínima das placas, considerando rigidez dielétrica e capacitância requerida.
  • Passo lógico: existem duas condições que limitam o projeto:
    1. A separação d deve ser grande o suficiente para que o campo elétrico não exceda a rigidez dielétrica quando V_{\max} for aplicado:
    E=\frac{V}{d}\le E_{\text{max}}\quad\Rightarrow\quad d\ge \frac{V_{\max}}{E_{\text{max}}}.Assim a menor separação permitida (para evitar ruptura) é d_{\min}=\frac{V_{\max}}{E_{\text{max}}}.
    1. Para capacitância de placas paralelas com dielétrico de constante \kappa,
    C=\frac{\kappa\varepsilon_0 A}{d}\quad\Rightarrow\quad A=\frac{C d}{\kappa\varepsilon_0}.Para obter a área mínima devemos usar a menor d permitida (pois A\propto d).
  • Calculo de d_{\min}:
d_{\min}=\frac{V_{\max}}{E_{\text{max}}}=\frac{5500}{1{,}60\times 10^{7}}\\ \text{m}.
Faço a divisão:
d_{\min}=3{,}4375\times 10^{-4}\\ \text{m}=3{,}44\times 10^{-4}\\ \text{m}\\ (\text{aprox.}).
  • Agora usar essa d_{\min} na expressão de A. Substituo diretamente para evitar passos extras e obtenho uma forma conveniente:
A=\frac{C d_{\min}}{\kappa\varepsilon_0}=\frac{C}{\kappa\varepsilon_0}\cdot\frac{V_{\max}}{E_{\text{max}}}=\frac{C V_{\max}}{\kappa\varepsilon_0 E_{\text{max}}}.
Essa forma mostra dependência direta de C e V_{\max} e inversa de \kappa, \varepsilon_0 e E_{\text{max}}.
  • Substituo os valores numéricos passo a passo:
    • Produto \,C V_{\max}=1{,}25\times 10^{-9}\times 5500=6{,}875\times 10^{-6}.
    • Produto \,\kappa\varepsilon_0 E_{\text{max}}=3{,}60\times 8{,}854\times 10^{-12}\times 1{,}60\times 10^{7}.
      • Primeiro \varepsilon_0 E_{\text{max}}=8{,}854\times 10^{-12}\times 1{,}60\times 10^{7}=1{,}41664\times 10^{-4}.
      • Multiplicando por \kappa: 3{,}60\times 1{,}41664\times 10^{-4}=5{,}099904\times 10^{-4}.
    • Agora a divisão:
A=\frac{6{,}875\times 10^{-6}}{5{,}099904\times 10^{-4}}=1{,}3470\times 10^{-2}\\ \text{m}^{2}.
  • Resultado em unidades práticas:
    • \,A\approx 1{,}35\times 10^{-2}\\ \text{m}^{2}.
    • Em centímetros quadrados: \,A\approx 1{,}35\times 10^{-2}\times 10^{4}=135\\ \text{cm}^{2}.
  • Interpretação: cada placa precisa ter área mínima cerca de \,0{,}0135\\ \text{m}^2 (aprox. \,135\\ \text{cm}^2) para atingir a capacitância desejada sem romper o dielétrico a \,5500\\ \text{V}.

Resposta

(4a) 4{,}24\times 10^{3}\\ \text{V}\n
(4b) 8{,}48\times 10^{3}\\ \text{V}\n
(4c) 8{,}27\times 10^{-3}\\ \text{J}\n
(5) A_{\min}=1{,}35\times 10^{-2}\\ \text{m}^{2} (≈ 135\\ \text{cm}^{2})

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