Uma partícula de massa
e carga
move-se na direção e sentido de
em um dado instante. Na regiāo em que essa partícula se move existe um campo magnético constante (uniforme e estacionário)
, onde
const
. Devido à força magnética, a partícula descreve um movimento circular uniforme de raio
. Determine a razāo entre a energia cinética e o módulo do momento linear dessa partícula.
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a razão entre a energia cinética e o módulo do momento linear de uma partícula. As informações dadas são:
- massa da partícula:
; - carga da partícula:
; - em um instante a velocidade da partícula está na direção e sentido de
; - campo magnético uniforme e estacionário:
com ; - sob a ação da força magnética a partícula descreve um movimento circular uniforme de raio
.
A quantia a determinar é a razão, onde é a energia cinética e é o módulo do momento linear.
Passo 2
Vamos lembrar a expressão da força magnética sobre uma carga em movimento. A força de Lorentz magnética tem magnitude
onde
é o módulo da velocidade,
o módulo do campo magnético e
é o ângulo entre
e
. Aqui a velocidade é perpendicular ao campo (
em
e
em
), logo
e
. Portanto
Expliquei:
é a carga,
é a velocidade da partícula e
é o campo magnético.
Passo 3
Para movimento circular uniforme de raio
com velocidade tangencial
, a força centrípeta necessária é
onde
é a massa. Aqui interpretamos que a única força que fornece a centrípeta é a força magnética, então essas forças têm mesma magnitude.
Passo 4
Igualando a força magnética à centrípeta temos
Como
, podemos dividir ambos os lados por
para simplificar:
Isolando
obtemos a velocidade da partícula na órbita circular:
Passo 5
O módulo do momento linear (quantidade de movimento) é
Substituindo o valor de
do passo anterior:
Ou seja, o módulo do momento linear é
.
Passo 6
A energia cinética é dada por
Substituindo
temos
Passo 7
Agora calculamos a razão pedida
. Usando os resultados dos passos anteriores:
Cancelando fatores iguais (
) obtemos
Passo 8
A expressão encontrada corresponde à alternativa (a).
Resposta
(a)