Uma partícula de massa m e carga q>0 move-se na direção e sentido de \hat{\boldsymbol{x}} em um dado instante. Na regiāo em que essa partícula se move existe um campo magnético constante (uniforme e estacionário) \vec{B}=B \hat{\boldsymbol{z}}, onde B= const >0. Devido à força magnética, a partícula descreve um movimento circular uniforme de raio a. Determine a razāo entre a energia cinética e o módulo do momento linear dessa partícula.
(a) q B a /(2 m).
(b) q B a / m.
(c) 2 q B a / m.
(d) \quad q B a /(2 \pi m).
(e) q B a /(\pi m).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a razão entre a energia cinética e o módulo do momento linear de uma partícula. As informações dadas são:
  • massa da partícula: m;
  • carga da partícula: q>0;
  • em um instante a velocidade da partícula está na direção e sentido de \hat{\boldsymbol{x}};
  • campo magnético uniforme e estacionário: \vec{B}=B\hat{\boldsymbol{z}} com B>0;
  • sob a ação da força magnética a partícula descreve um movimento circular uniforme de raio a.
    A quantia a determinar é a razão \dfrac{K}{p}, onde K é a energia cinética e p é o módulo do momento linear.

Passo 2

Vamos lembrar a expressão da força magnética sobre uma carga em movimento. A força de Lorentz magnética tem magnitude
F_{\text{mag}} = q v B \sin\theta,
onde v é o módulo da velocidade, B o módulo do campo magnético e \theta é o ângulo entre \vec{v} e \vec{B}. Aqui a velocidade é perpendicular ao campo ( \vec{v} em \hat{\boldsymbol{x}} e \vec{B} em \hat{\boldsymbol{z}}), logo \theta=90^\circ e \sin\theta=1. Portanto
F_{\text{mag}} = q v B.
Expliquei: q é a carga, v é a velocidade da partícula e B é o campo magnético.

Passo 3

Para movimento circular uniforme de raio a com velocidade tangencial v, a força centrípeta necessária é
F_{\text{cent}} = m \frac{v^{2}}{a},
onde m é a massa. Aqui interpretamos que a única força que fornece a centrípeta é a força magnética, então essas forças têm mesma magnitude.

Passo 4

Igualando a força magnética à centrípeta temos
q v B = m \frac{v^{2}}{a}.
Como v>0, podemos dividir ambos os lados por v para simplificar:
q B = m \frac{v}{a}.
Isolando v obtemos a velocidade da partícula na órbita circular:
v = \frac{q B a}{m}.

Passo 5

O módulo do momento linear (quantidade de movimento) é
p = m v.
Substituindo o valor de v do passo anterior:
p = m \cdot \frac{q B a}{m} = q B a.
Ou seja, o módulo do momento linear é \,p = q B a.

Passo 6

A energia cinética é dada por
K = \frac{1}{2} m v^{2}.
Substituindo v = \dfrac{q B a}{m} temos
K = \frac{1}{2} m \left(\frac{q B a}{m}\right)^{2} = \frac{1}{2}\,\frac{q^{2} B^{2} a^{2}}{m}.

Passo 7

Agora calculamos a razão pedida \dfrac{K}{p}. Usando os resultados dos passos anteriores:
\frac{K}{p} = \frac{\displaystyle \frac{1}{2}\,\frac{q^{2} B^{2} a^{2}}{m}}{\displaystyle q B a} = \frac{1}{2}\,\frac{q^{2} B^{2} a^{2}}{m}\cdot\frac{1}{q B a}.
Cancelando fatores iguais ( q B a) obtemos
\frac{K}{p} = \frac{1}{2}\,\frac{q B a}{m}.

Passo 8

A expressão encontrada corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{q B a}{2 m}

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