(2 p) A energia de ativação de água é 14.5 \frac{\mathrm{~kJ}}{\mathrm{~mol}}. Por qual fator diminui a viscosidade de água quando a temperatura aumenta de 25^{\circ} \mathrm{C} para 50^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado dá a energia de ativação da água e pede por qual fator a viscosidade diminui quando a temperatura sobe de 25^\circ\mathrm{C} para 50^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos:
E_a = 14{,}5\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}
Temperaturas:
T_1 = 25^\circ\mathrm{C},\qquad T_2 = 50^\circ\mathrm{C}.
Pergunta explícita: calcular o fator
\frac{\eta(T_2)}{\eta(T_1)}
onde \eta(T) é a viscosidade à temperatura T.

Passo 2

Modelo que vamos usar (explicação didática): para muitos líquidos a dependência da viscosidade com a temperatura pode ser aproximada por uma lei de Arrhenius do tipo
\eta(T) = A \exp\!\left(\frac{E_a}{R\,T}\right),
onde:
  • \eta(T) é a viscosidade à temperatura T (em Kelvin),
  • A é uma constante pré-exponencial (depende do líquido),
  • E_a é a energia de ativação (em \mathrm{J\\ mol^{-1}}),
  • R é a constante universal dos gases \left(R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\right),
  • T é a temperatura em Kelvin.
    Essa fórmula diz que a viscosidade cresce exponencialmente quando o termo E_a/(R T) aumenta; como T aumenta, E_a/(R T) diminui, logo \eta diminui — por isso a água fica menos viscosa com aquecimento.

Passo 3

Obtemos a razão das viscosidades em T_2 e T_1 cancelando a constante A:
\frac{\eta(T_2)}{\eta(T_1)} = \frac{A\exp\!\left(\dfrac{E_a}{R T_2}\right)}{A\exp\!\left(\dfrac{E_a}{R T_1}\right)} = \exp\!\left(\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)\right).
Essa é a fórmula que vamos usar para calcular o fator.

Passo 4

Converter temperaturas para Kelvin (importante: sempre usar Kelvin em expoentes térmicos):
T_1 = 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 = 50^\circ\mathrm{C} = 50 + 273{,}15 = 323{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Colocar E_a em unidades compatíveis com R:
E_a = 14{,}5\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}} = 14{,}5\times 10^3\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}} = 14500\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
Constante dos gases:
R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 6

Calcular o argumento do exponencial passo a passo.
Primeiro os recíprocos das temperaturas:
\frac{1}{T_2}=\frac{1}{323{,}15}=0{,}003094\\ \mathrm{K^{-1}}\quad(\text{aprox.}),
\frac{1}{T_1}=\frac{1}{298{,}15}=0{,}003356\\ \mathrm{K^{-1}}\quad(\text{aprox.}).
Diferença:
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}=0{,}003094-0{,}003356=-0{,}000262\\ \mathrm{K^{-1}}\quad(\text{aprox.}).
Agora o fator \dfrac{E_a}{R}:
\frac{E_a}{R}=\frac{14500}{8{,}314}\approx 1744{,}0\\ \mathrm{K}.
Multiplicando:
\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)\approx 1744{,}0\times(-0{,}000262)\approx -0{,}4565.

Passo 7

Aplicar o exponencial:
\frac{\eta(T_2)}{\eta(T_1)}=\exp(-0{,}4565)\approx 0{,}634.
Interpretação: a viscosidade em 50^\circ\mathrm{C} é cerca de 0{,}634 vezes a viscosidade em 25^\circ\mathrm{C}; isso significa que a viscosidade diminuiu em aproximadamente 36{,}6\% (porque 1-0{,}634=0{,}366).

Resposta

0{,}634 (a viscosidade em 50^\circ\mathrm{C} é cerca de 63{,}4\% da de 25^\circ\mathrm{C}; diminuição ≈ 36{,}6\%).

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