Questão 5 - Mostre que a função
satisfaz à equação de onda.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que ela satisfaz à equação de onda. Informação relevante que recebemos do enunciado:
O que precisamos provar (o que o enunciado pede): mostrar que
satisfaz a forma padrão da equação de onda (ou seja, que existe uma relação entre as derivadas segundas em
e em
que é verificada por
). Não vou ainda dizer qual forma exata vou usar; isso vem no próximo passo onde começamos a desenvolver.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar (passo-a-passo, doce e sem pressa) o que significa “satisfazer a equação de onda” no caso unidimensional mais comum. A equação de onda típica tem a forma
onde
é a velocidade de propagação da onda (uma constante). Nosso objetivo prático será calcular
e
para a função dada e verificar uma relação do tipo acima, identificando
quando possível. Antes de derivar, vou explicar a regra que vamos usar.
Passo 3
Relembrando a regra de derivação que vamos aplicar (cadeia e derivada de
):
No nosso caso o “interior” da função trigonométrica é
que é uma combinação linear em
e
. As derivadas parciais de
são fáceis:
pois
,
e
são constantes.
Passo 4
Agora calculamos a primeira derivada parcial de
em relação a
, usando a regra da cadeia explicada:
Começando de
temos
Substituindo
, obtemos
Passo 5
Agora a segunda derivada parcial em
. Aplicamos novamente a regra da cadeia à função
:
Substituindo
chegamos a
Perceba que isso pode ser escrito de forma muito prática como
pois
.
Passo 6
Agora repetimos o processo, mas para derivar em relação a
. Primeira derivada parcial em
:
Usando a regra da cadeia e
,
Passo 7
Segunda derivada parcial em
. Derivando
em relação a
:
Substituindo
obtemos
Ou de forma compacta,
Passo 8
Comparando os resultados das derivadas segundas que achamos:
Eliminando
entre essas duas igualdades (ou simplesmente relacionando-as), obtemos
Isso tem exatamente a forma da equação de onda apresentada antes,
desde que escolhamos
Passo 9
Interpretação final e esclarecimento didático (como usar isso na prova): a conta essencial é sempre a mesma — aplicar a regra da cadeia duas vezes em
e duas vezes em
, perceber que ambas as segundas derivadas ficam proporcionais à própria função
com fatores
e
. Daí a relação entre derivadas dá a equação de onda com velocidade
. Em outras palavras: a forma
é uma solução harmônica elementar da equação de onda e descreve uma onda que se propaga com velocidade
. Um truque prático na prova: ao ver
você já pode prever que
traz um fator
e
traz
.
Resposta
A função satisfaz a equação de onda
com
.