Questão 5 - Mostre que a função \mathrm{f}_{(\mathrm{x}, \mathrm{t})}=\mathrm{A} \cdot \operatorname{Cos}(\mathrm{kx}-\omega \mathrm{t}+\delta) satisfaz à equação de onda.

Passo 1

O enunciado dá a função
f_{(x,t)} = A \cdot \cos\big(kx - \omega t + \delta\big)
e pede para mostrar que ela satisfaz à equação de onda. Informação relevante que recebemos do enunciado:
\,\, - A é uma constante (amplitude).
\,\, - k é uma constante (número de onda).
\,\, - \omega é uma constante (frequência angular).
\,\, - \delta é uma constante (fase inicial).
\,\, - A função depende de duas variáveis independentes: x (posição) e t (tempo).
O que precisamos provar (o que o enunciado pede): mostrar que f_{(x,t)} satisfaz a forma padrão da equação de onda (ou seja, que existe uma relação entre as derivadas segundas em x e em t que é verificada por f). Não vou ainda dizer qual forma exata vou usar; isso vem no próximo passo onde começamos a desenvolver.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar (passo-a-passo, doce e sem pressa) o que significa “satisfazer a equação de onda” no caso unidimensional mais comum. A equação de onda típica tem a forma
\frac{\partial^{2} }{\partial x^{2}} f(x,t) \;=\; \frac{1}{v^{2}}\,\frac{\partial^{2} }{\partial t^{2}} f(x,t),
onde v é a velocidade de propagação da onda (uma constante). Nosso objetivo prático será calcular \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} e \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} para a função dada e verificar uma relação do tipo acima, identificando v quando possível. Antes de derivar, vou explicar a regra que vamos usar.

Passo 3

Relembrando a regra de derivação que vamos aplicar (cadeia e derivada de \cos):
\,\, - Se g(u) = \cos(u), então g'(u) = -\sin(u).
\,\, - Se temos h(x)=g(u(x)), a regra da cadeia diz que h'(x) = g'(u(x))\cdot u'(x). Ou seja, derivamos o exterior e multiplicamos pela derivada do interior.
No nosso caso o “interior” da função trigonométrica é
\theta(x,t) = kx - \omega t + \delta,
que é uma combinação linear em x e t. As derivadas parciais de \theta são fáceis:
\frac{\partial \theta}{\partial x} = k,\qquad \frac{\partial \theta}{\partial t} = -\omega,
pois k, \omega e \delta são constantes.

Passo 4

Agora calculamos a primeira derivada parcial de f em relação a x, usando a regra da cadeia explicada:
Começando de
f(x,t) = A\cos\big(\theta(x,t)\big),
temos
\frac{\partial f}{\partial x} = A \cdot \big(-\sin(\theta(x,t))\big)\cdot \frac{\partial \theta}{\partial x}.
Substituindo \frac{\partial \theta}{\partial x}=k, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} = -A k \sin\big(kx - \omega t + \delta\big).

Passo 5

Agora a segunda derivada parcial em x. Aplicamos novamente a regra da cadeia à função -A k \sin(\theta):
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = -A k \cdot \frac{\partial}{\partial x}\Big[\sin\big(\theta(x,t)\big)\Big] = -A k \cdot \cos\big(\theta(x,t)\big)\cdot \frac{\partial \theta}{\partial x}.
Substituindo \frac{\partial \theta}{\partial x}=k chegamos a
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = -A k^{2} \cos\big(kx - \omega t + \delta\big).
Perceba que isso pode ser escrito de forma muito prática como
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = -k^{2}\,f(x,t),
pois f(x,t)=A\cos(\theta).

Passo 6

Agora repetimos o processo, mas para derivar em relação a t. Primeira derivada parcial em t:
Usando a regra da cadeia e \frac{\partial \theta}{\partial t}=-\omega,
\frac{\partial f}{\partial t} = A\cdot\big(-\sin(\theta)\big)\cdot \frac{\partial \theta}{\partial t} = A\cdot\big(-\sin(\theta)\big)\cdot(-\omega) = A\omega \sin\big(kx - \omega t + \delta\big).

Passo 7

Segunda derivada parcial em t. Derivando A\omega \sin(\theta) em relação a t:
\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} = A\omega \cdot \frac{\partial}{\partial t}\Big[\sin(\theta)\Big] = A\omega \cdot \cos(\theta)\cdot \frac{\partial \theta}{\partial t}.
Substituindo \frac{\partial \theta}{\partial t}=-\omega obtemos
\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} = A\omega \cdot \cos(\theta)\cdot(-\omega) = -A \omega^{2} \cos\big(kx - \omega t + \delta\big).
Ou de forma compacta,
\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} = -\omega^{2}\,f(x,t).

Passo 8

Comparando os resultados das derivadas segundas que achamos:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = -k^{2}\,f(x,t) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} = -\omega^{2}\,f(x,t).
Eliminando f(x,t) entre essas duas igualdades (ou simplesmente relacionando-as), obtemos
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \;=\; \frac{k^{2}}{\omega^{2}}\; \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}.
Isso tem exatamente a forma da equação de onda apresentada antes,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \;=\; \frac{1}{v^{2}}\; \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}},
desde que escolhamos
\frac{1}{v^{2}} = \frac{k^{2}}{\omega^{2}} \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{\omega}{k}.

Passo 9

Interpretação final e esclarecimento didático (como usar isso na prova): a conta essencial é sempre a mesma — aplicar a regra da cadeia duas vezes em x e duas vezes em t, perceber que ambas as segundas derivadas ficam proporcionais à própria função f com fatores -k^{2} e -\omega^{2}. Daí a relação entre derivadas dá a equação de onda com velocidade v=\omega/k. Em outras palavras: a forma \cos(kx-\omega t+\delta) é uma solução harmônica elementar da equação de onda e descreve uma onda que se propaga com velocidade \omega/k. Um truque prático na prova: ao ver \cos(kx-\omega t+\delta) você já pode prever que \partial_x^2 traz um fator -k^2 e \partial_t^2 traz -\omega^2.

Resposta

A função satisfaz a equação de onda
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}}\,\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}
com v=\dfrac{\omega}{k}.

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