Se a energia de ativação para uma reação for de 198 \mathrm{KJ} / \mathrm{mol} e \mathrm{K}=5,00 \times 10^{-6} \mathrm{~s}^{-1} a 25{ }^{0} \mathrm{C}, em que temperatura será K igual a 5,00 \times 10^{-5} \mathrm{~s}^{-1} ?

Passo 1

Resumindo o enunciado: a reação tem energia de ativação \;E_a=198\\ \mathrm{kJ/mol} e constante de velocidade \;k_1=5,00\times10^{-6}\\ \mathrm{s^{-1}} à temperatura inicial \;T_1=25{\,}^\circ\mathrm C. Queremos achar a temperatura \;T_2 em que a constante passe a ser \;k_2=5,00\times10^{-5}\\ \mathrm{s^{-1}}. O conteúdo necessário é a equação de Arrhenius:
k = A \exp\!\biggl(-\frac{E_a}{R\,T}\biggr),
onde R=8,314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Passo 2

Para duas temperaturas diferentes podemos dividir as equações de Arrhenius e obter
\frac{k_2}{k_1} = \exp\!\Bigl(-\frac{E_a}{R}\bigl(\tfrac1{T_2}-\tfrac1{T_1}\bigr)\Bigr).
Aplicando o logaritmo natural, chega-se a
\ln\!\bigl(\tfrac{k_2}{k_1}\bigr) = -\frac{E_a}{R}\Bigl(\tfrac1{T_2}-\tfrac1{T_1}\Bigr).

Passo 3

Isolando 1/T_2, obtemos
\frac1{T_2} = \frac1{T_1} - \frac{R}{E_a}\,\ln\!\bigl(\tfrac{k_2}{k_1}\bigr).
Agora substituímos E_a=198\,000\\ \mathrm{J/mol}, R=8,314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, T_1=25{\,}^\circ\mathrm C=298{,}15\\ \mathrm K e \tfrac{k_2}{k_1}=10:
\ln\!10 \approx 2{,}3026, \quad \frac{R}{E_a} = \frac{8{,}314}{198\,000}\approx 4{,}20\times10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}},
\frac{R}{E_a}\ln\!10\approx 4{,}20\times10^{-5}\times2{,}3026\approx9{,}67\times10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}},
\frac1{T_2} = \frac1{298{,}15} - 9{,}67\times10^{-5} \approx 0{,}0033540 - 0{,}0000967 = 0{,}0032573\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 4

Invertendo, encontramos
T_2 = \frac1{0{,}0032573}\approx306{,}9\\ \mathrm K,
o que em graus Celsius dá cerca de 33{,}8{\,}^\circ\mathrm C.

Resposta

\;T_2\approx307\\ \mathrm K (ou aproximadamente 33{,}8{\,}^\circ\mathrm C).

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