Energia em Capacitores: A energia armazenada é
. Para
, determine o domínio e a imagem dessa função para tensões de 0 V a 50 V .
Passo 1
O enunciado dá a expressão da energia armazenada em um capacitor e pede que eu determine o domínio e a imagem quando a tensão varia de 0 V a 50 V. Informações fornecidas:
- A fórmula:
. - A capacitância:
. - A faixa de tensões: de
a .
O que é solicitado:
- Determinar o domínio da função
considerando as tensões entre e . - Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
) correspondente a esse domínio.
Passo 2
Converter a capacitância para unidades do SI (Farad). A unidade microfarad significa
. Então:
Explicação rápida: escrever sempre as grandezas no SI facilita as contas (Farad, Volt, Joule).
Passo 3
Entender a fórmula e suas variáveis. A fórmula
significa:
-
é a energia armazenada, em joules ( ). -
é a capacitância, em farads ( ). -
é a tensão aplicada, em volts ( ).
Por que aparece? Uma derivação curta e didática: a carga no capacitor é . O trabalho (energia) necessário para carregar o capacitor vem da integral do potencial em função da carga:
Substituindo
obtemos
. Isso é só para saber de onde vem a fórmula — na prova é comum lembrar esse raciocínio rápido.
Passo 4
Determinar o domínio. O enunciado já restringiu a tensão entre
e
. Então o domínio da função, considerando esse enunciado, é o intervalo fechado
Comentário: usamos intervalo fechado porque as extremidades
e
volts estão incluídas.
Passo 5
Calcular o menor valor de
no domínio. Como
e
para todo
, o mínimo ocorre em
. Então:
Passo 6
Calcular o maior valor de
no domínio. A função
é crescente para
, logo o máximo em
ocorre em
. Calculemos passo a passo:
Conversão prática:
(porque
).
Passo 7
Concluir a imagem usando continuidade e monotonicidade. A função
é contínua e crescente para
, portanto a imagem (conjunto de valores atingidos por
) quando
varia em
é o intervalo fechado entre
e
:
Em unidades mais usuais:
.
Passo 8
Exemplo ilustrativo rápido (útil para a prova): se
,
o que está dentro do intervalo encontrado — boa checagem.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: