Energia em Capacitores: A energia armazenada é E(V)=\frac{1}{2} C V^{2}. Para C= 100 \mu \mathrm{~F}, determine o domínio e a imagem dessa função para tensões de 0 V a 50 V .

Passo 1

O enunciado dá a expressão da energia armazenada em um capacitor e pede que eu determine o domínio e a imagem quando a tensão varia de 0 V a 50 V. Informações fornecidas:
  • A fórmula: E(V)=\dfrac{1}{2} C V^{2}.
  • A capacitância: C=100\\ \mu\mathrm{F}.
  • A faixa de tensões: de 0\\ \mathrm{V} a 50\\ \mathrm{V}.
O que é solicitado:
  • Determinar o domínio da função E(V) considerando as tensões entre 0\\ \mathrm{V} e 50\\ \mathrm{V}.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de E) correspondente a esse domínio.

Passo 2

Converter a capacitância para unidades do SI (Farad). A unidade microfarad significa 10^{-6}\\ \mathrm{F}. Então:
C = 100\\ \mu\mathrm{F} = 100 \times 10^{-6}\\ \mathrm{F} = 10^{-4}\\ \mathrm{F}.
Explicação rápida: escrever sempre as grandezas no SI facilita as contas (Farad, Volt, Joule).

Passo 3

Entender a fórmula e suas variáveis. A fórmula
E(V)=\frac{1}{2}\,C\,V^{2}
significa:
  • E é a energia armazenada, em joules ( \mathrm{J}).
  • C é a capacitância, em farads ( \mathrm{F}).
  • V é a tensão aplicada, em volts ( \mathrm{V}).
    Por que aparece 1/2? Uma derivação curta e didática: a carga no capacitor é q=C V. O trabalho (energia) necessário para carregar o capacitor vem da integral do potencial em função da carga:
E=\int_{0}^{Q} V(q)\,dq=\int_{0}^{Q}\frac{q}{C}\,dq=\frac{1}{2}\frac{Q^{2}}{C}.
Substituindo Q=CV obtemos \,E=\dfrac{1}{2}CV^{2}\,. Isso é só para saber de onde vem a fórmula — na prova é comum lembrar esse raciocínio rápido.

Passo 4

Determinar o domínio. O enunciado já restringiu a tensão entre 0\\ \mathrm{V} e 50\\ \mathrm{V}. Então o domínio da função, considerando esse enunciado, é o intervalo fechado
[0,50]\\ \mathrm{V}.
Comentário: usamos intervalo fechado porque as extremidades 0 e 50 volts estão incluídas.

Passo 5

Calcular o menor valor de E no domínio. Como E(V)=\dfrac{1}{2}C V^{2} e V^{2}\ge 0 para todo V, o mínimo ocorre em V=0. Então:
E(0)=\frac{1}{2}\cdot 10^{-4}\cdot 0^{2}=0\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcular o maior valor de E no domínio. A função V\mapsto V^{2} é crescente para V\ge 0, logo o máximo em [0,50] ocorre em V=50\\ \mathrm{V}. Calculemos passo a passo:
V^{2}=50^{2}=2500.
C\,V^{2}=10^{-4}\cdot 2500=2500\times 10^{-4}=0,25.
E(50)=\frac{1}{2}\cdot 0,25=0,125\\ \mathrm{J}.
Conversão prática: 0,125\\ \mathrm{J}=125\\ \mathrm{mJ} (porque 1\\ \mathrm{J}=1000\\ \mathrm{mJ}).

Passo 7

Concluir a imagem usando continuidade e monotonicidade. A função E(V) é contínua e crescente para V\ge 0, portanto a imagem (conjunto de valores atingidos por E) quando V varia em [0,50] é o intervalo fechado entre E(0) e E(50):
[0,0,125]\\ \mathrm{J}.
Em unidades mais usuais: [0,125]\\ \mathrm{mJ}.

Passo 8

Exemplo ilustrativo rápido (útil para a prova): se V=25\\ \mathrm{V},
E(25)=\frac{1}{2}\cdot 10^{-4}\cdot 25^{2}=\frac{1}{2}\cdot 10^{-4}\cdot 625=0,03125\\ \mathrm{J}=31,25\\ \mathrm{mJ},
o que está dentro do intervalo encontrado — boa checagem.

Resposta

Domínio: [0,50]\\ \mathrm{V}
Imagem: [0,0,125]\\ \mathrm{J} = [0,125]\\ \mathrm{mJ}

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