Potência Dissipada: A potência em um resistor é
. Se
, esboce o gráfico de
e determine a imagem para
.
Passo 1
O enunciado dá a expressão da potência dissipada num resistor em função da corrente e pede duas coisas:
- A função é
. - Foi dado
. - Pedem que se esboce o gráfico de
. - Pedem que se determine a imagem de
quando o domínio é .
Informações relevantes fornecidas:
- Resistência:
. - Corrente analisada:
varia no intervalo . - Unidade da potência resultante será watt (
), pois .
Passo 2
Substituir o valor de
na fórmula para obter a função específica que vamos estudar:
Explicando passo a passo: aqui
é a potência (em
) quando circula uma corrente
(em
) por um resistor de resistência
(em
). A fórmula
vem do produto entre tensão e corrente usando
, então
.
Passo 3
Para esboçar o gráfico é útil calcular alguns pontos-chave. Vou montar uma pequena tabela de valores, calculando cada um passo a passo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Esses pontos
são:
. Eles servem para desenhar o esboço.
Passo 4
Descrever a forma do gráfico e justificar por que ele é assim:
- A função
é uma parábola com vértice em (pois é do tipo com ). - A parábola abre para cima; para
ela é crescente. Podemos ver isso calculando a derivada:
Para
tem-se
, logo
é não decrescente (na verdade estritamente crescente para
) nesse intervalo. Assim o menor valor ocorre em
e o maior em
.
Passo 5
Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
quando
):
- Valor mínimo:
. - Valor máximo:
.
A função
é contínua e crescente em
, portanto a imagem é o intervalo fechado entre esses extremos:
Passo 6
Instruções práticas para esboçar o gráfico no papel (passo a passo, estilo prova):
- Desenhe dois eixos perpendiculares; eixo horizontal para
(rotule em ) e eixo vertical para (rotule em ). - Marque no eixo
os pontos de a (por exemplo com unidade 1). - Marque no eixo
os valores de a . Uma escala conveniente pode ser de por divisão (0, 50, 100, 150, 200, 250). - Plote os pontos calculados:
. - Una os pontos com uma curva suave em forma de parábola que passe por eles e que tenha vértice em
, abrindo para cima. - Acrescente setas ou indique que a curva continua para além se desejado (mas aqui o interesse é só no intervalo
).