Potência Dissipada: A potência em um resistor é P(I)=R \cdot I^{2}. Se R=10 \Omega, esboce o gráfico de P(I) e determine a imagem para I \in[0,5] \mathrm{A}.

Passo 1

O enunciado dá a expressão da potência dissipada num resistor em função da corrente e pede duas coisas:
  • A função é P(I)=R\cdot I^{2}.
  • Foi dado R=10\\ \Omega.
  • Pedem que se esboce o gráfico de P(I).
  • Pedem que se determine a imagem de P quando o domínio é I\in[0,5]\\ \text{A}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Resistência: R=10\\ \Omega.
  • Corrente analisada: I varia no intervalo [0,5]\\ \text{A}.
  • Unidade da potência resultante será watt ( \text{W}), pois 1\\ \Omega\cdot\text{A}^2 = 1\\ \text{W}.

Passo 2

Substituir o valor de R na fórmula para obter a função específica que vamos estudar:
P(I)=10\cdot I^{2}.
Explicando passo a passo: aqui P(I) é a potência (em \text{W}) quando circula uma corrente I (em \text{A}) por um resistor de resistência R (em \Omega). A fórmula P=R I^{2} vem do produto entre tensão e corrente usando V=R I, então P=V I=(R I)I=R I^{2}.

Passo 3

Para esboçar o gráfico é útil calcular alguns pontos-chave. Vou montar uma pequena tabela de valores, calculando cada um passo a passo:
  • Para I=0:
P(0)=10\cdot 0^{2}=10\cdot 0=0\\ \text{W}.
  • Para I=1:
P(1)=10\cdot 1^{2}=10\cdot 1=10\\ \text{W}.
  • Para I=2:
P(2)=10\cdot 2^{2}=10\cdot 4=40\\ \text{W}.
  • Para I=3:
P(3)=10\cdot 3^{2}=10\cdot 9=90\\ \text{W}.
  • Para I=4:
P(4)=10\cdot 4^{2}=10\cdot 16=160\\ \text{W}.
  • Para I=5:
P(5)=10\cdot 5^{2}=10\cdot 25=250\\ \text{W}.
Esses pontos (I,P) são: (0,0), (1,10), (2,40), (3,90), (4,160), (5,250). Eles servem para desenhar o esboço.

Passo 4

Descrever a forma do gráfico e justificar por que ele é assim:
  • A função P(I)=10I^{2} é uma parábola com vértice em I=0 (pois é do tipo aI^{2} com a>0).
  • A parábola abre para cima; para I\ge 0 ela é crescente. Podemos ver isso calculando a derivada:
P'(I)=\frac{d}{dI}(10I^{2})=20I.
Para I\in[0,5] tem-se P'(I)\ge 0, logo P é não decrescente (na verdade estritamente crescente para I>0) nesse intervalo. Assim o menor valor ocorre em I=0 e o maior em I=5.

Passo 5

Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de P quando I\in[0,5]):
  • Valor mínimo: P(0)=0\\ \text{W}.
  • Valor máximo: P(5)=250\\ \text{W}.
A função P é contínua e crescente em [0,5], portanto a imagem é o intervalo fechado entre esses extremos:
\operatorname{Im}(P)=[0,250]\\ \text{W}.

Passo 6

Instruções práticas para esboçar o gráfico no papel (passo a passo, estilo prova):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares; eixo horizontal para I (rotule I em \text{A}) e eixo vertical para P (rotule P em \text{W}).
  2. Marque no eixo I os pontos de 0 a 5 (por exemplo com unidade 1).
  3. Marque no eixo P os valores de 0 a 250. Uma escala conveniente pode ser de 50\\ \text{W} por divisão (0, 50, 100, 150, 200, 250).
  4. Plote os pontos calculados: (0,0),(1,10),(2,40),(3,90),(4,160),(5,250).
  5. Una os pontos com uma curva suave em forma de parábola que passe por eles e que tenha vértice em (0,0), abrindo para cima.
  6. Acrescente setas ou indique que a curva continua para além se desejado (mas aqui o interesse é só no intervalo I\in[0,5]).

Resposta

\operatorname{Im}(P)=[0,250]\\ \text{W}

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