II- Um fio reto, infinitamente longo, conduz uma corrente
(de baixo para cima). No mesmo plano do sio, encontra-se uma placa retangular com largura
(paralela ao fio) e altura
(perpendicular ao fio). A placa conduz uma corrente
no sentido anti-horàrio, e sua borda mais próxima estã a uma distância
do fio. Considerando que o campo magnético gerado pelo fio tem magnitude
, onde
é a distància ao fio,
unidades SI, e que esse campo está direcionado perpendicularmente à placa, entrando na página,
(a) Calcule a força magnética resultante sobre a placa.
(b) Discuta a direçāo da força resultante e explique fisicamente sua origem. [30 pontos]
Observação: Determine a força que atua em cada parte da placa devido ao um elemento infinitesimal ds e, em seguida, realize uma integração.
(a) Calcule a força magnética resultante sobre a placa.
(b) Discuta a direçāo da força resultante e explique fisicamente sua origem. [30 pontos]
Passo 1
O enunciado dá um fio retilíneo infinito que conduz corrente
(direção de baixo para cima). No mesmo plano há uma placa retangular que conduz corrente
no sentido anti-horário. A placa tem largura
(paralela ao fio) e altura
(perpendicular ao fio). A borda mais próxima da placa está a uma distância
do fio. O campo magnético produzido pelo fio tem magnitude dada por
e, conforme o enunciado, está direcionado para dentro da página (vetor
) na região da placa. Pedidos:
(a) calcular a força magnética resultante sobre a placa;
(b) discutir a direção da força resultante e explicar fisicamente sua origem.
(a) calcular a força magnética resultante sobre a placa;
(b) discutir a direção da força resultante e explicar fisicamente sua origem.
Informações relevantes listadas:
-
. -
. -
(comprimento das bordas paralelas ao fio). -
(distância entre as duas bordas paralelas ao fio). -
(distância da borda mais próxima ao fio). -
. -
para o módulo de , com direção para dentro da página.
Passo 2
Escolha do método e lei básica a usar. Vamos usar a força magnética sobre um elemento de fio percorrido por corrente (lei de Laplace / força de Lorentz para correntes):
Aqui:
-
é a corrente que percorre o elemento (no nosso caso ), -
é o vetor de comprimento dirigido ao longo do sentido da corrente, -
é o campo magnético produzido pelo fio em cada ponto.
Explico: essa fórmula dá a força sobre um pequeno trecho do condutor; integrando ao longo de todo o contorno da placa obtemos a força resultante sobre a placa.
Passo 3
Configuração e orientação do sistema (colocando coordenadas para clareza).
- Coloco o fio ao longo do eixo
em . O plano da página é o plano . - A placa retangular está à direita do fio, ocupando
e . - O campo gerado pelo fio, na região da placa, é
com . - Sentido da corrente na placa: anti-horário. Isso implica:
- lado vertical mais próximo ao fio (em
): corrente para cima ( ); - lado vertical mais distante (em
): corrente para baixo ( ); - lado superior (em
): corrente para a direita ( ); - lado inferior (em
): corrente para a esquerda ( ).
- lado vertical mais próximo ao fio (em
Passo 4
Força na borda vertical mais próxima (lado em
). Considere um elemento
desse lado, com
variando de
a
.
Aplicando :
Aplicando
Como
, segue
Integro em
de
a
:
Ou em módulo e símbolo de direção:
Passo 5
Força na borda vertical mais distante (lado em
). Procedimento idêntico, agora
e a corrente está para baixo, mas o cálculo direto dá:
elemento e
, daí
elemento
Integrando
de
a
:
Em módulo:
Passo 6
Forças nas bordas horizontais (superior e inferior) e cancelamento.
- Lado superior (
): com de a . Então
- Lado inferior (
): corrente oposta, , logo
Ao integrar cada lado ao longo de
obtém-se duas forças opostas ao longo de
com o mesmo módulo (porque os integrandos são iguais em módulo e os sentidos são contrários). Portanto:
Conclusão: apenas as duas bordas verticais contribuem para a força resultante.
Passo 7
Força resultante: soma vetorial das forças nas duas bordas verticais.
Agrupando:
Substituindo
:
Reescrevendo para evidenciar sentido (como vimos fisicamente a resultante aponta para o fio, isto é
):
Agora calculamos numericamente. Primeiro o coeficiente:
Então
Substituindo os números
,
,
,
,
:
Logo
Calcule passo a passo:
Direção: apontando para o fio (atração), isto é no sentido
.
Passo 8
Interpretação física (por que isso acontece) — explicação didática e intuitiva:
- A força magnética entre correntes segue a regra: dois fios paralelos com correntes no mesmo sentido se atraem; se as correntes são opostas, se repelem. Aqui o fio infinito tem corrente para cima e a borda vertical mais próxima tem corrente também para cima — logo essa borda é atraída pelo fio. A borda vertical mais distante tem corrente para baixo (oposta ao fio) e, portanto, é repelida pelo fio.
- Como o campo magnético do fio decai com
, a borda mais próxima (a atraída) está submetida a um campo muito mais forte que a borda mais distante (a repelida). Por isso a atração vence a repulsão e a resultante é uma força de atração para o fio. - As bordas horizontal superior e inferior têm forças em sentidos opostos e se cancelam, então só as duas bordas verticais contribuem para a força líquida.
- Então a origem física é a interação magnética entre correntes (interpretação via força de Lorentz nos portadores de carga): correntes paralelas atraem; desigualdade de distância causa resultado líquido não nulo.
Resposta
(a)
(módulo).
(b) Direção: atração para o fio (isto é, apontando para o fio). Origem: a borda mais próxima tem corrente no mesmo sentido do fio (atração) e sofre força maior porque o campo é mais intenso mais perto; a borda mais longe tem corrente no sentido oposto (repulsão) mas com campo mais fraco, resultando em atração líquida.
(b) Direção: atração para o fio (isto é, apontando para o fio). Origem: a borda mais próxima tem corrente no mesmo sentido do fio (atração) e sofre força maior porque o campo