II- Um fio reto, infinitamente longo, conduz uma corrente \mathrm{I}_{1}=10 \mathrm{~A} (de baixo para cima). No mesmo plano do sio, encontra-se uma placa retangular com largura \alpha=0,4 (paralela ao fio) e altura b=0,3 \mathrm{~m} (perpendicular ao fio). A placa conduz uma corrente 1_{2}=5 \mathrm{~A} no sentido anti-horàrio, e sua borda mais próxima estã a uma distância d=0,2 \mathrm{~m} do fio. Considerando que o campo magnético gerado pelo fio tem magnitude \mu_{0} / i /(2 \pi), onde r é a distància ao fio, \mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} unidades SI, e que esse campo está direcionado perpendicularmente à placa, entrando na página,
(a) Calcule a força magnética resultante sobre a placa.
(b) Discuta a direçāo da força resultante e explique fisicamente sua origem. [30 pontos]
Observação: Determine a força que atua em cada parte da placa devido ao um elemento infinitesimal ds e, em seguida, realize uma integração.

Passo 1

O enunciado dá um fio retilíneo infinito que conduz corrente \mathrm{I}_{1}=10\\ \mathrm{A} (direção de baixo para cima). No mesmo plano há uma placa retangular que conduz corrente \mathrm{I}_{2}=5\\ \mathrm{A} no sentido anti-horário. A placa tem largura \alpha=0,4\\ \mathrm{m} (paralela ao fio) e altura b=0,3\\ \mathrm{m} (perpendicular ao fio). A borda mais próxima da placa está a uma distância d=0,2\\ \mathrm{m} do fio. O campo magnético produzido pelo fio tem magnitude dada por \displaystyle B(r)=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r} e, conforme o enunciado, está direcionado para dentro da página (vetor -\hat{z}) na região da placa. Pedidos:
(a) calcular a força magnética resultante sobre a placa;
(b) discutir a direção da força resultante e explicar fisicamente sua origem.
Informações relevantes listadas:
  • \mathrm{I}_{1}=10\\ \mathrm{A}.
  • \mathrm{I}_{2}=5\\ \mathrm{A}.
  • \alpha=0,4\\ \mathrm{m} (comprimento das bordas paralelas ao fio).
  • b=0,3\\ \mathrm{m} (distância entre as duas bordas paralelas ao fio).
  • d=0,2\\ \mathrm{m} (distância da borda mais próxima ao fio).
  • \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{N/A^2}.
  • \displaystyle B(r)=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r} para o módulo de \vec{B}, com direção para dentro da página.

Passo 2

Escolha do método e lei básica a usar. Vamos usar a força magnética sobre um elemento de fio percorrido por corrente (lei de Laplace / força de Lorentz para correntes):
d\vec{F}=I\,d\vec{\ell}\times\vec{B}.
Aqui:
  • I é a corrente que percorre o elemento (no nosso caso I=\mathrm{I}_2),
  • d\vec{\ell} é o vetor de comprimento dirigido ao longo do sentido da corrente,
  • \vec{B} é o campo magnético produzido pelo fio em cada ponto.
    Explico: essa fórmula dá a força sobre um pequeno trecho do condutor; integrando ao longo de todo o contorno da placa obtemos a força resultante sobre a placa.

Passo 3

Configuração e orientação do sistema (colocando coordenadas para clareza).
  • Coloco o fio ao longo do eixo y em x=0. O plano da página é o plano xy.
  • A placa retangular está à direita do fio, ocupando x\in[d,d+b] e y\in[0,\alpha].
  • O campo gerado pelo fio, na região da placa, é \vec{B}(x)=-B(x)\,\hat{z} com \displaystyle B(x)=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi x}.
  • Sentido da corrente na placa: anti-horário. Isso implica:
    • lado vertical mais próximo ao fio (em x=d): corrente para cima ( +\hat{y});
    • lado vertical mais distante (em x=d+b): corrente para baixo ( -\hat{y});
    • lado superior (em y=\alpha): corrente para a direita ( +\hat{x});
    • lado inferior (em y=0): corrente para a esquerda ( -\hat{x}).

Passo 4

Força na borda vertical mais próxima (lado em x=d). Considere um elemento d\vec{\ell}=dy\,\hat{y} desse lado, com y variando de 0 a \alpha.
Aplicando d\vec{F}=\mathrm{I}_2\,d\vec{\ell}\times\vec{B}:
d\vec{F}=\mathrm{I}_2\,(dy\,\hat{y})\times\big(-B(d)\hat{z}\big) =-\mathrm{I}_2 B(d)\,dy\,(\hat{y}\times\hat{z}).
Como \hat{y}\times\hat{z}=\hat{x}, segue
d\vec{F}=-\mathrm{I}_2 B(d)\,dy\,\hat{x}.
Integro em y de 0 a \alpha:
\vec{F}_{\text{perto}}=\int_0^\alpha d\vec{F}=-\mathrm{I}_2 B(d)\,\alpha\,\hat{x}.
Ou em módulo e símbolo de direção:
F_{\text{perto}}=\mathrm{I}_2\,\alpha\,B(d),\qquad \text{direção: } -\hat{x}\\ \text{(para o fio)}.çã

Passo 5

Força na borda vertical mais distante (lado em x=d+b). Procedimento idêntico, agora B(d+b) e a corrente está para baixo, mas o cálculo direto dá:
elemento d\vec{\ell}=dy\,(-\hat{y}) e \vec{B}=-B(d+b)\hat{z}, daí
d\vec{F}=\mathrm{I}_2(-dy\,\hat{y})\times(-B(d+b)\hat{z}) =\mathrm{I}_2 B(d+b)\,dy\,(\hat{y}\times\hat{z}) =\mathrm{I}_2 B(d+b)\,dy\,\hat{x}.
Integrando y de 0 a \alpha:
\vec{F}_{\text{longe}}=+\mathrm{I}_2 B(d+b)\,\alpha\,\hat{x}.
Em módulo:
F_{\text{longe}}=\mathrm{I}_2\,\alpha\,B(d+b),\qquad \text{direção: } +\hat{x}\\ \text{(afastando do fio)}.çã

Passo 6

Forças nas bordas horizontais (superior e inferior) e cancelamento.
  • Lado superior ( y=\alpha): d\vec{\ell}=dx\,\hat{x} com x de d a d+b. Então
d\vec{F}=\mathrm{I}_2 (dx\,\hat{x})\times(-B(x)\hat{z}) =\mathrm{I}_2 B(x)\,dx\,(\hat{x}\times(-\hat{z})) =\mathrm{I}_2 B(x)\,dx\,\hat{y}.
  • Lado inferior ( y=0): corrente oposta, d\vec{\ell}=-dx\,\hat{x}, logo
d\vec{F}=\mathrm{I}_2 (-dx\,\hat{x})\times(-B(x)\hat{z}) =-\mathrm{I}_2 B(x)\,dx\,\hat{y}.
Ao integrar cada lado ao longo de x\in[d,d+b] obtém-se duas forças opostas ao longo de \hat{y} com o mesmo módulo (porque os integrandos são iguais em módulo e os sentidos são contrários). Portanto:
\vec{F}_{\text{superior}}+\vec{F}_{\text{inferior}}=\vec{0}.
Conclusão: apenas as duas bordas verticais contribuem para a força resultante.

Passo 7

Força resultante: soma vetorial das forças nas duas bordas verticais.
\vec{F}_{\text{res}}=\vec{F}_{\text{perto}}+\vec{F}_{\text{longe}} =-\mathrm{I}_2\alpha B(d)\,\hat{x}+\mathrm{I}_2\alpha B(d+b)\,\hat{x}.
Agrupando:
\vec{F}_{\text{res}}=\mathrm{I}_2\alpha\Big[B(d+b)-B(d)\Big]\,\hat{x}.
Substituindo B(r)=\dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi r}:
\vec{F}_{\text{res}}=\mathrm{I}_2\alpha\frac{\mu_0 I_1}{2\pi}\Big(\frac{1}{d+b}-\frac{1}{d}\Big)\hat{x}.
Reescrevendo para evidenciar sentido (como vimos fisicamente a resultante aponta para o fio, isto é -\hat{x}):
\vec{F}_{\text{res}}=-\mathrm{I}_2\alpha\frac{\mu_0 I_1}{2\pi}\Big(\frac{1}{d}-\frac{1}{d+b}\Big)\hat{x}.
Agora calculamos numericamente. Primeiro o coeficiente:
\frac{\mu_0}{2\pi}=\frac{4\pi\times 10^{-7}}{2\pi}=2\times 10^{-7}.
Então
F_{\text{res}}=\mathrm{I}_2\alpha\left(2\times 10^{-7}\right)I_1\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{d+b}\right).
Substituindo os números \mathrm{I}_1=10, \mathrm{I}_2=5, \alpha=0,4, d=0,2, b=0,3:
\frac{1}{d}-\frac{1}{d+b}=\frac{1}{0,2}-\frac{1}{0,5}=5-2=3.
Logo
F_{\text{res}}=5\cdot 0,4\cdot 2\times 10^{-7}\cdot 10\cdot 3.
Calcule passo a passo:
5\cdot 0,4 = 2,
2\times 10^{-7}\cdot 10 = 2\times 10^{-6},
2 \cdot 2\times 10^{-6}\cdot 3 = 4\times 10^{-6}\cdot 3 = 12\times 10^{-6}=1,2\times 10^{-5}.
Direção: apontando para o fio (atração), isto é no sentido -\hat{x}.

Passo 8

Interpretação física (por que isso acontece) — explicação didática e intuitiva:
  • A força magnética entre correntes segue a regra: dois fios paralelos com correntes no mesmo sentido se atraem; se as correntes são opostas, se repelem. Aqui o fio infinito tem corrente para cima e a borda vertical mais próxima tem corrente também para cima — logo essa borda é atraída pelo fio. A borda vertical mais distante tem corrente para baixo (oposta ao fio) e, portanto, é repelida pelo fio.
  • Como o campo magnético do fio decai com 1/r, a borda mais próxima (a atraída) está submetida a um campo muito mais forte que a borda mais distante (a repelida). Por isso a atração vence a repulsão e a resultante é uma força de atração para o fio.
  • As bordas horizontal superior e inferior têm forças em sentidos opostos e se cancelam, então só as duas bordas verticais contribuem para a força líquida.
  • Então a origem física é a interação magnética entre correntes (interpretação via força de Lorentz nos portadores de carga): correntes paralelas atraem; desigualdade de distância causa resultado líquido não nulo.

Resposta

(a) \displaystyle F_{\text{res}}=1,2\times 10^{-5}\\ \mathrm{N} (módulo).
(b) Direção: atração para o fio (isto é, apontando para o fio). Origem: a borda mais próxima tem corrente no mesmo sentido do fio (atração) e sofre força maior porque o campo B é mais intenso mais perto; a borda mais longe tem corrente no sentido oposto (repulsão) mas com campo mais fraco, resultando em atração líquida.

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