A energia cinética de uma partícula é dada por T=12 m v^2. Para o movimento de rotação, essa expressão se transforma em 12 m|omega times r|^2. Mostre que
T=12 m[r^2 omega^2-(r cdot omega)^2]

Passo 1

O enunciado nos dá a energia cinética de rotação na forma
T = 12 m l|omegatimesrr|^2
e pede para mostrar que essa expressão equivale a
12 ml[r^2,omega^2 - (rcdotomega)^2r]
O conteúdo que vamos usar é a identidade vetorial para o módulo do produto vetorial.

Passo 2

Reescrevemos o quadrado do módulo do produto vetorial como produto escalar:
l|omegatimesrr|^2 =(omegatimesr)cdot(omegatimesr),

Passo 3

Aplicamos a identidade vetorial conhecida:
(AtimesB)cdot(AtimesB) =(AcdotA)(BcdotB) - (AcdotB)^2
Aqui tomamos A=omega e B=r, obtendo
(omegatimesr)cdot(omegatimesr) =omega^2,r^2 - (omegacdotr)^2

Passo 4

Substituindo esse resultado em T, vem
T = 12 m l|omegatimesrr|^2 = 12 ml[omega^2,r^2 - (omegacdotr)^2r]

Resposta

T = 12 ml[r^2,omega^2 - (rcdotomega)^2r]

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