1 (Energia cinética e trabalho - 3 pontos) Um bloco de massa m=2 \mathrm{Kg} está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito quando uma força ao longo de um eixo x é aplicada ao bloco. A força é dada por \vec{F}(x)=\left(2,7-x^{2}\right) \vec{i} N, onde x está em metros e a posição inicial é \mathrm{x}=0.
a) Qual é a energia cinética do bloco ao passar pelo ponto x=2 m ?
b) Qual é a energia cinética máxima entre x=0 e x=2,5 m.

Passo 1

O enunciado dá um bloco de massa m=2\\ \mathrm{Kg} inicialmente em repouso em x=0. Uma força ao longo do eixo x é aplicada, dada por
\vec{F}(x) = \bigl(2,7 - x^{2}\bigr)\,\vec{i}\\ \mathrm{N},
onde x está em metros. As perguntas são:
a) Qual é a energia cinética do bloco ao passar por x=2\\ \mathrm{m}?
b) Qual é a energia cinética máxima no intervalo 0\le x\le 2,5\\ \mathrm{m}?

Passo 2

Princípio que vamos usar: teorema trabalho-energia. Ele diz que a variação da energia cinética K de um corpo entre duas posições é igual ao trabalho total W realizado sobre ele entre essas posições:
\Delta K = K(x)-K(0) = W_{0\to x}.
Aqui K(0)=0 porque o bloco parte do repouso em x=0. Então a energia cinética em uma posição x é igual ao trabalho realizado pela força desde 0 até x:
K(x)=W_{0\to x}.
Explicando: K é a energia cinética medida em joules ( \mathrm{J}). O trabalho W é a integral da componente da força na direção do deslocamento multiplicada por dx.

Passo 3

Como a força está ao longo de \vec{i}, a componente na direção do deslocamento é F_x(x)=2,7 - x^{2} (em newtons). O trabalho de 0 até x é
W_{0\to x}=\int_{0}^{x} F_x(x')\,dx'=\int_{0}^{x} \bigl(2,7-(x')^{2}\bigr)\,dx'.
Nota: usei x' como variável de integração para não confundir com o limite. Isso é uma prática comum e importante.

Passo 4

Calcule a integral explicitamente. Antiderivada de 2,7 em relação a x' é 2,7x'. Antiderivada de -(x')^{2} é -\dfrac{(x')^{3}}{3}. Então
W_{0\to x}=\left[\,2,7x' - \dfrac{(x')^{3}}{3}\,\right]_{0}^{x} = 2,7x - \dfrac{x^{3}}{3}.
Portanto temos a expressão fechada para a energia cinética em função de x:
K(x)=2,7x - \dfrac{x^{3}}{3}\quad(\mathrm{J}).
Comentário didático: essa fórmula diz quanto trabalho (logo energia cinética) acumulamos ao deslocar o bloco de 0 até x. A unidade está em joules porque N\cdot m = J.

Passo 5

Parte (a): energia cinética ao passar por x=2\\ \mathrm{m}. Basta avaliar K(x) em x=2:
K(2)=2,7\cdot 2 - \dfrac{2^{3}}{3} = 5,4 - \dfrac{8}{3}.
Calcule com frações para exatidão:
2,7=\dfrac{27}{10}\Rightarrow K(2)=\dfrac{27}{10}\cdot 2 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{54}{10} - \dfrac{8}{3} = \dfrac{27}{5} - \dfrac{8}{3}.
Colocando em comum denominador 15:
K(2)=\dfrac{81-40}{15}=\dfrac{41}{15}\\ \mathrm{J}\approx 2,733\\ \mathrm{J}.
Interpretação física: a força positiva para x entre 0 e \sqrt{2,7} acelera o bloco e gera essa energia cinética.

Passo 6

Parte (b): energia cinética máxima para 0\le x\le 2,5\\ \mathrm{m}. Observação útil: a derivada de K(x) em relação a x é justamente a força componente:
\dfrac{dK}{dx}=F_x(x)=2,7-x^{2}.
Extremos internos de K(x) ocorrem quando \dfrac{dK}{dx}=0, isto é quando F_x(x)=0. Então resolvemos
2,7-x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=2,7 \quad\Rightarrow\quad x=\sqrt{2,7}.
Como estamos no intervalo x\ge 0, tomamos x_c=\sqrt{2,7}. Numericamente,
x_c=\sqrt{2,7}\approx 1,643\\ \mathrm{m},
que está dentro do intervalo [0,2,5], logo é um candidato a máximo ou mínimo.

Passo 7

Para saber se é máximo, note que para x<x_c temos F_x>0 (energia cinética crescente) e para x>x_c temos F_x<0 (energia cinética decrescente), logo x_c é um máximo local e, no nosso intervalo, também o máximo global (porque os valores nas bordas são menores, como veremos). Vamos avaliar K em x_c e nas bordas:
  • Em x=0: K(0)=0.
  • Em x=2,5: podemos avaliar para comparação:
K(2,5)=2,7\cdot 2,5 - \dfrac{(2,5)^{3}}{3} = 6,75 - \dfrac{15,625}{3}\approx 1,542\\ \mathrm{J}.
  • Em x=x_c, use a expressão obtida antes; para simplificar a conta aproveitamos que x_c^{2}=2,7, então x_c^{3}=x_c\cdot x_c^{2}=2,7\,x_c. Substituindo em K(x)=2,7x-\dfrac{x^{3}}{3}:
K(x_c)=2,7x_c - \dfrac{x_c^{3}}{3} = 2,7x_c - \dfrac{2,7x_c}{3} = 2,7x_c\left(1-\dfrac{1}{3}\right) = 2,7x_c\cdot \dfrac{2}{3}.
Calcule a constante:
2,7\cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{27}{10}\cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{54}{30} = \dfrac{9}{5} = 1,8.
Logo
K(x_c)=\dfrac{9}{5}\,x_c.
Substituindo x_c=\sqrt{2,7}:
K_{\max}=K(x_c)=\dfrac{9}{5}\sqrt{2,7}\\ \mathrm{J}.
Valor numérico:
K_{\max}\approx 1,8\times 1,643\approx 2,958\\ \mathrm{J}.
Comparando: K(0)=0, K(2,5)\approx 1,542\\ \mathrm{J}, e K(x_c)\approx 2,958\\ \mathrm{J}. Portanto o máximo no intervalo é em x=\sqrt{2,7} com o valor acima.

Resposta

a) K(2)=\dfrac{41}{15}\\ \mathrm{J}\approx 2,733\\ \mathrm{J}.
b) K_{\max}=\dfrac{9}{5}\sqrt{2,7}\\ \mathrm{J}\approx 2,958\\ \mathrm{J} (ocorre em x=\sqrt{2,7}\approx 1,643\\ \mathrm{m}).

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