1 (Energia cinética e trabalho - 3 pontos) Um bloco de massa
está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito quando uma força ao longo de um eixo
é aplicada ao bloco. A força é dada por
, onde
está em metros e a posição inicial é
.
a) Qual é a energia cinética do bloco ao passar pelo ponto
?
b) Qual é a energia cinética máxima entre
e
.
a) Qual é a energia cinética do bloco ao passar pelo ponto
b) Qual é a energia cinética máxima entre
Passo 1
O enunciado dá um bloco de massa
inicialmente em repouso em
. Uma força ao longo do eixo
é aplicada, dada por
onde
está em metros. As perguntas são:
a) Qual é a energia cinética do bloco ao passar por ?
b) Qual é a energia cinética máxima no intervalo ?
a) Qual é a energia cinética do bloco ao passar por
b) Qual é a energia cinética máxima no intervalo
Passo 2
Princípio que vamos usar: teorema trabalho-energia. Ele diz que a variação da energia cinética
de um corpo entre duas posições é igual ao trabalho total
realizado sobre ele entre essas posições:
Aqui
porque o bloco parte do repouso em
. Então a energia cinética em uma posição
é igual ao trabalho realizado pela força desde
até
:
Explicando:
é a energia cinética medida em joules (
). O trabalho
é a integral da componente da força na direção do deslocamento multiplicada por
.
Passo 3
Como a força está ao longo de
, a componente na direção do deslocamento é
(em newtons). O trabalho de
até
é
Nota: usei
como variável de integração para não confundir com o limite. Isso é uma prática comum e importante.
Passo 4
Calcule a integral explicitamente. Antiderivada de
em relação a
é
. Antiderivada de
é
. Então
Portanto temos a expressão fechada para a energia cinética em função de
:
Comentário didático: essa fórmula diz quanto trabalho (logo energia cinética) acumulamos ao deslocar o bloco de
até
. A unidade está em joules porque
.
Passo 5
Parte (a): energia cinética ao passar por
. Basta avaliar
em
:
Calcule com frações para exatidão:
Colocando em comum denominador
:
Interpretação física: a força positiva para
entre 0 e
acelera o bloco e gera essa energia cinética.
Passo 6
Parte (b): energia cinética máxima para
. Observação útil: a derivada de
em relação a
é justamente a força componente:
Extremos internos de
ocorrem quando
, isto é quando
. Então resolvemos
Como estamos no intervalo
, tomamos
. Numericamente,
que está dentro do intervalo
, logo é um candidato a máximo ou mínimo.
Passo 7
Para saber se é máximo, note que para
temos
(energia cinética crescente) e para
temos
(energia cinética decrescente), logo
é um máximo local e, no nosso intervalo, também o máximo global (porque os valores nas bordas são menores, como veremos). Vamos avaliar
em
e nas bordas:
- Em
: . - Em
: podemos avaliar para comparação:
- Em
, use a expressão obtida antes; para simplificar a conta aproveitamos que , então . Substituindo em :
Calcule a constante:
Logo
Substituindo
:
Valor numérico:
Comparando:
,
, e
. Portanto o máximo no intervalo é em
com o valor acima.
Resposta
a)
b) (ocorre em
).
b)