Qual é a energia cinética de translação média das moléculas de nitrogênio a 1600 K?
A água a céu aberto a 32,0^{\circ} \mathrm{C} evapora por causa do escape de algumas moléculas da superfície. O calor de vaporização ( 539 \mathrm{cal} / \mathrm{g} ) é aproximadamente igual a en, em que e é a energia média das moléculas que escapame n é o número de moléculas por grama. (a) Determine e. (b) Qual é a razão entre e e a energia cinética média das moléculas de \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}, supondo que a segunda está relacionada à temperatura da mesma forma que nos gases?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e dá vários dados. Vou organizar certinho o que é pedido e o que temos.
  • Perguntas:
    1. Qual é a energia cinética de translação média das moléculas de nitrogênio a 1600\\ \mathrm{K}?
    2. Para a água a 32{,}0^\circ\mathrm{C}: (a) determine a energia e média das moléculas que escapam, sabendo que o calor de vaporização é 539\\ \mathrm{cal/g} e que esse calor por grama é aproximadamente igual a e n, onde n é o número de moléculas por grama; (b) qual é a razão entre e e a energia cinética média das moléculas de \mathrm{H_2O} (assumindo que a energia cinética de translação média é dada pela mesma relação que em gases)?
  • Dados fornecidos explicitamente:
    • Temperatura para nitrogênio: T_{\mathrm{N_2}}=1600\\ \mathrm{K}.
    • Temperatura da água: 32{,}0^\circ\mathrm{C} (vou converter para Kelvin quando precisar).
    • Calor de vaporização: 539\\ \mathrm{cal/g}.
    • Constantes físicas que usarei (valores aceitos):
      • Constante de Boltzmann: k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
      • Número de Avogadro: N_A=6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
      • Massa molar da água: M_{\mathrm{H_2O}}=18{,}015\\ \mathrm{g/mol} (usarei 18\\ \mathrm{g/mol} quando for conveniente arredondar cognitive; mostrarei com o valor padrão).
      • Conversão: 1\\ \mathrm{cal}=4{,}184\\ \mathrm{J}.
A partir daqui começo a resolução passo a passo, explicando as fórmulas e cada conta.

Passo 2

Conceito fundamental: energia cinética média translacional de uma molécula numa amostra gasosa.
  • Teoria: para partículas numa situação clássica térmica, a energia cinética média de translação por molécula (ou por partícula) é dada por
\langle E_{\text{trans}}\rangle = \frac{3}{2} k_B T,
onde k_B é a constante de Boltzmann (energia térmica por grau Kelvin por partícula) e T é a temperatura em kelvin. Explicando as variáveis:
  • k_B mede a quantidade de energia por grau de liberdade por unidade de temperatura por partícula.
  • O fator 3/2 vem de termos 3 graus de liberdade de translação (movimento nas direções x,y,z); cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}k_B T.
Observação didática: isso vale independentemente de a molécula ser diatômica ou monoatômica, porque é só a parte de translação que está sendo considerada (os modos vibracionais/rotacionais não entram aqui para a energia de translação média).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nitrogênio ( \mathrm{N_2}) a 1600\\ \mathrm{K}.
  • Escrevo a fórmula:
\langle E_{\text{trans}}\rangle_{\mathrm{N_2}} = \frac{3}{2} k_B T_{\mathrm{N_2}}.
  • Substituo k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K} e T_{\mathrm{N_2}}=1600\\ \mathrm{K}:
\langle E_{\text{trans}}\rangle_{\mathrm{N_2}} = \frac{3}{2}\times(1{,}380649\times10^{-23})\times1600.
  • Faço as contas passo a passo:
    • Primeiro k_B T: (1{,}380649\times10^{-23})\times1600 = 2{,}2090384\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
    • Multiplico por 3/2=1{,}5: 1{,}5\times2{,}2090384\times10^{-20}=3{,}3135576\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
Portanto a energia cinética de translação média por molécula de \mathrm{N_2} a 1600\\ \mathrm{K} é aproximadamente 3{,}31\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Agora vamos calcular e: a energia média por molécula que escapa da superfície da água, usando o modelo dado no enunciado.
  • Interpretação: o enunciado diz que o calor de vaporização por grama ( L_v) é aproximadamente igual a e n, onde:
    • L_v é o calor por grama (energia necessária para vaporizar 1 g de água),
    • n é o número de moléculas em 1\\ \mathrm{g},
    • e é a energia média que cada molécula que escapa carrega (o que queremos).
Então
e = \frac{L_v}{n}.
  • Primeiro converto L_v de calorias para joules:
L_v = 539\\ \mathrm{cal/g}\times 4{,}184\\ \mathrm{J/cal} = 539\times4{,}184\\ \mathrm{J/g}.
Faço a conta:
539\times4{,}184 = 2255{,}176\\ \mathrm{J/g}.
Logo L_v=2255{,}176\\ \mathrm{J/g}.
  • Agora preciso de n, número de moléculas por grama de água. Para isso uso a massa molar e o número de Avogadro:
    • Uma mole de água tem N_A=6{,}02214076\times10^{23} moléculas e pesa M_{\mathrm{H_2O}}=18{,}015\\ \mathrm{g}.
    • Então o número de moléculas por grama é
n = \frac{N_A}{M_{\mathrm{H_2O}}}.
Substituindo:
n = \frac{6{,}02214076\times10^{23}}{18{,}015}\\ \mathrm{mol^{-1}\,g^{-1}}.
Faço a divisão (mostrando aproximado):
n \approx 3{,}3456349\times10^{22}\\ \mathrm{moléculas/g}.é
  • Finalmente calculo e:
e = \frac{2255{,}176\\ \mathrm{J/g}}{3{,}3456349\times10^{22}\\ \mathrm{moléculas/g}} = 6{,}74437\times10^{-20}\\ \mathrm{J\\ per\\ molécula}.éé
Arredondando razoavelmente: e\approx 6{,}74\times10^{-20}\\ \mathrm{J} por molécula que escapa.

Passo 5

Agora calculo a energia cinética média de translação das moléculas de água à temperatura dada \,32{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Primeiro converto a temperatura para kelvin:
T_{\mathrm{H_2O}} = 32{,}0^\circ\mathrm{C} = 32{,}0 + 273{,}15 = 305{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Uso novamente a fórmula da energia translacional média por molécula:
\langle E_{\text{trans}}\rangle_{\mathrm{H_2O}} = \frac{3}{2} k_B T_{\mathrm{H_2O}}.
Substituindo:
\langle E_{\text{trans}}\rangle_{\mathrm{H_2O}} = \frac{3}{2}\times(1{,}380649\times10^{-23})\times305{,}15.
  • Faço as contas:
    • k_B T = 1{,}380649\times10^{-23}\times305{,}15 \approx 4{,}213012\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
    • Multiplicando por 1{,}5: \langle E_{\text{trans}}\rangle_{\mathrm{H_2O}} \approx 6{,}319518\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
Arredondando: \langle E_{\text{trans}}\rangle_{\mathrm{H_2O}}\approx 6{,}32\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calculo a razão pedida: \dfrac{e}{\langle E_{\text{trans}}\rangle_{\mathrm{H_2O}}}.
  • Substituo os valores obtidos:
\frac{e}{\langle E_{\text{trans}}\rangle_{\mathrm{H_2O}}} = \frac{6{,}74437\times10^{-20}}{6{,}319518\times10^{-21}} \approx 10{,}67.
Interpretação rápida: isso significa que a energia necessária por molécula para escapar (segundo o modelo do enunciado) é cerca de 10,7 vezes maior que a energia cinética média de translação de uma molécula de água àquela temperatura — ou seja, só uma fração muito pequena das moléculas terá energia suficiente para evaporar espontaneamente.

Resposta

\langle E_{\text{trans}}\rangle_{\mathrm{N_2}} \approx 3{,}31\times10^{-20}\\ \mathrm{J}
e \approx 6{,}74\times10^{-20}\\ \mathrm{J}
\dfrac{e}{\langle E_{\text{trans}}\rangle_{\mathrm{H_2O}}} \approx 10{,}7

Exercícios relacionados