Especifique, para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente nos reais:
Passo 1
O enunciado pede: especificar se a função
é crescente ou decrescente no conjunto dos números reais.
Informações dadas: a função é a função afim definida por , cujo domínio natural é
.
Informações dadas: a função é a função afim definida por
Passo 2
Definição (muito prática) que vamos usar: dizemos que uma função
é estritamente crescente em um conjunto
quando, para quaisquer
com
, vale
. Vou usar exatamente essa definição para provar se a função é crescente ou decrescente. Aqui cada símbolo significa:
são dois pontos do domínio;
são os valores da função nesses pontos; o símbolo
é a desigualdade usual.
Passo 3
Escrevendo a função em termos de
: defina
. Pegue dois pontos arbitrários do domínio com
. O que queremos analisar é o sinal da diferença
, porque se essa diferença for positiva sempre que
, então
é estritamente crescente.
Passo 4
Calcule a diferença entre os valores da função:
Aqui estou usando apenas a definição de
. Simplificando a expressão obtemos:
Essa simplificação é só cancelamento dos
. Cada passo é simples: subtraímos termo a termo.
Passo 5
Como assumimos
, a diferença
é um número positivo. Portanto
sempre que
. Pela definição do passo 2, isso prova que
é estritamente crescente em todo o domínio
.
Passo 6
Comentário intuitivo e verificação numérica curta (pra ficar mais concreto): a função
é uma reta de coeficiente angular
(isto é, ao aumentar
de uma unidade,
aumenta exatamente
). Exemplos:
e
, e realmente
implica
. Isso confirma a conclusão anterior de forma prática.
Resposta
estritamente crescente em