Especifique, para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente nos reais:
y=x+2

Passo 1

O enunciado pede: especificar se a função y=x+2 é crescente ou decrescente no conjunto dos números reais.
Informações dadas: a função é a função afim definida por y=x+2, cujo domínio natural é \mathbb{R}.

Passo 2

Definição (muito prática) que vamos usar: dizemos que uma função f é estritamente crescente em um conjunto D quando, para quaisquer x_1,x_2\in D com x_1<x_2, vale f(x_1)<f(x_2). Vou usar exatamente essa definição para provar se a função é crescente ou decrescente. Aqui cada símbolo significa: x_1,x_2 são dois pontos do domínio; f(x_1),f(x_2) são os valores da função nesses pontos; o símbolo < é a desigualdade usual.

Passo 3

Escrevendo a função em termos de f: defina f(x)=x+2. Pegue dois pontos arbitrários do domínio com x_1<x_2. O que queremos analisar é o sinal da diferença f(x_2)-f(x_1), porque se essa diferença for positiva sempre que x_2>x_1, então f é estritamente crescente.

Passo 4

Calcule a diferença entre os valores da função:
f(x_2)-f(x_1)=(x_2+2)-(x_1+2).
Aqui estou usando apenas a definição de f. Simplificando a expressão obtemos:
f(x_2)-f(x_1)=x_2-x_1.
Essa simplificação é só cancelamento dos +2. Cada passo é simples: subtraímos termo a termo.

Passo 5

Como assumimos x_2>x_1, a diferença x_2-x_1 é um número positivo. Portanto f(x_2)-f(x_1)>0 sempre que x_2>x_1. Pela definição do passo 2, isso prova que f é estritamente crescente em todo o domínio \mathbb{R}.

Passo 6

Comentário intuitivo e verificação numérica curta (pra ficar mais concreto): a função f(x)=x+2 é uma reta de coeficiente angular 1 (isto é, ao aumentar x de uma unidade, f(x) aumenta exatamente 1). Exemplos: f(0)=2 e f(1)=3, e realmente 0<1 implica 2<3. Isso confirma a conclusão anterior de forma prática.

Resposta

estritamente crescente em \mathbb{R}

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