1. Prove que dois planos, respectivamente perpendiculares a duas retas paralelas, são paralelos.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte (vou organizar bem para não nos perdermos):
  • Temos duas retas r e s.
  • As retas são paralelas: r \parallel s.
  • Há dois planos \alpha e \beta.
  • O plano \alpha é perpendicular à reta r: \alpha \perp r.
  • O plano \beta é perpendicular à reta s: \beta \perp s.
    O que precisamos provar: que os planos \alpha e \beta são paralelos (ou seja, \alpha \parallel \beta).

Passo 2

Vamos traduzir as retas e planos em linguagem de vetores (isso torna o raciocínio limpo).
Escolho vetores diretores para as retas:
  • seja \mathbf{u} um vetor diretor de r;
  • seja \mathbf{v} um vetor diretor de s.
Como r \parallel s, sabemos que os vetores diretores são colineares, isto é, existe um escalar \lambda \neq 0 tal que
\mathbf{v} = \lambda \mathbf{u}.
Explicando devagar: “vetor diretor” é só um vetor que indica a direção da reta. Duas retas paralelas têm direções proporcionais.

Passo 3

Agora preciso ligar a ideia “plano perpendicular a uma reta” com vetores normais ao plano. Vou explicar o conceito de forma didática.
Definição útil (explicada): se uma reta r é perpendicular a um plano \alpha, então o vetor diretor da reta é perpendicular a todo vetor dirigido dentro do plano que passe pelo ponto de interseção. Em palavras menos formais: a direção da reta fica “apontando” como uma normal ao plano. Em termos vetoriais, isso significa que podemos tomar um vetor normal \mathbf{n}_\alpha ao plano \alpha paralelo ao vetor diretor da reta r.
Portanto, do fato \alpha \perp r concluímos que podemos escolher
\mathbf{n}_\alpha \parallel \mathbf{u}.
De modo análogo, de \beta \perp s obtemos
\mathbf{n}_\beta \parallel \mathbf{v}.

Passo 4

Combine os resultados dos passos anteriores: como \mathbf{v} = \lambda \mathbf{u}, temos
\mathbf{n}_\beta \parallel \mathbf{v} = \lambda \mathbf{u} \quad\Rightarrow\quad \mathbf{n}_\beta \parallel \mathbf{u}.
E como \mathbf{n}_\alpha \parallel \mathbf{u} também, segue que
\mathbf{n}_\alpha \parallel \mathbf{n}_\beta.
Ou seja: os vetores normais dos planos \alpha e \beta são colineares (paralelos).

Passo 5

Agora preciso usar a propriedade que relaciona vetores normais e paralelismo de planos. Vou explicá‑la e provar rápido, com calma:
  • Uma equação vetorial de um plano \alpha que passa por um ponto P e tem normal \mathbf{n} é
\mathbf{n}\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p}) = 0,
onde \mathbf{p} é o vetor posição de P e \mathbf{x} é vetor posição genérico de um ponto do plano. Aqui \cdot é o produto escalar (dot product), que satisfaz \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0 quando \mathbf{a} é perpendicular a \mathbf{b}.
  • Se dois planos têm vetores normais colineares, digamos \mathbf{n}_\beta = \mu \mathbf{n}_\alpha com \mu\neq 0, então suas equações podem ser escritas como
\mathbf{n}_\alpha\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{p})=0 \quad\text{e}\quad \mathbf{n}_\alpha\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{q})=0,
até um fator escalar. Essas duas equações só podem ter solução comum (ou seja, interseção dos planos) se os termos constantes coincidirem; caso contrário não existe ponto que satisfaça ambas. Conclusão: quando os normais são paralelos, os planos ou coincidem (mesma equação) ou não se intersectam — precisamente a definição de planos paralelos.
Portanto, norma paralela ⇒ planos paralelos (ou coincidentes).

Passo 6

Aplicando ao nosso caso: vimos no Passo 4 que \mathbf{n}_\alpha \parallel \mathbf{n}_\beta. Pelo argumento do Passo 5, isso implica que os planos \alpha e \beta são paralelos (podem também coincidir em caso especial).

Passo 7

Resumo em linguagem curta e amigável (para fixar): duas retas paralelas têm direções proporcionais. Um plano perpendicular a uma reta tem sua normal paralela à direção dessa reta. Logo os dois planos têm normais paralelas. Dois planos com normais paralelas são paralelos (ou coincidentes). Portanto \alpha \parallel \beta.

Resposta

Os planos \alpha e \beta são paralelos (podendo coincidir).

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