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- Prove que dois planos, respectivamente perpendiculares a duas retas paralelas, são paralelos.
- Prove que dois planos, respectivamente perpendiculares a duas retas paralelas, são paralelos.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte (vou organizar bem para não nos perdermos):
- Temos duas retas
e . - As retas são paralelas:
. - Há dois planos
e . - O plano
é perpendicular à reta : . - O plano
é perpendicular à reta : .
O que precisamos provar: que os planose são paralelos (ou seja, ).
Passo 2
Vamos traduzir as retas e planos em linguagem de vetores (isso torna o raciocínio limpo).
Escolho vetores diretores para as retas:
Escolho vetores diretores para as retas:
- seja
um vetor diretor de ; - seja
um vetor diretor de .
Como
, sabemos que os vetores diretores são colineares, isto é, existe um escalar
tal que
Explicando devagar: “vetor diretor” é só um vetor que indica a direção da reta. Duas retas paralelas têm direções proporcionais.
Passo 3
Agora preciso ligar a ideia “plano perpendicular a uma reta” com vetores normais ao plano. Vou explicar o conceito de forma didática.
Definição útil (explicada): se uma reta
é perpendicular a um plano
, então o vetor diretor da reta é perpendicular a todo vetor dirigido dentro do plano que passe pelo ponto de interseção. Em palavras menos formais: a direção da reta fica “apontando” como uma normal ao plano. Em termos vetoriais, isso significa que podemos tomar um vetor normal
ao plano
paralelo ao vetor diretor da reta
.
Portanto, do fato
concluímos que podemos escolher
De modo análogo, de
obtemos
Passo 4
Combine os resultados dos passos anteriores: como
, temos
E como
também, segue que
Ou seja: os vetores normais dos planos
e
são colineares (paralelos).
Passo 5
Agora preciso usar a propriedade que relaciona vetores normais e paralelismo de planos. Vou explicá‑la e provar rápido, com calma:
- Uma equação vetorial de um plano
que passa por um ponto e tem normal é
onde
é o vetor posição de
e
é vetor posição genérico de um ponto do plano. Aqui
é o produto escalar (dot product), que satisfaz
quando
é perpendicular a
.
- Se dois planos têm vetores normais colineares, digamos
com , então suas equações podem ser escritas como
até um fator escalar. Essas duas equações só podem ter solução comum (ou seja, interseção dos planos) se os termos constantes coincidirem; caso contrário não existe ponto que satisfaça ambas. Conclusão: quando os normais são paralelos, os planos ou coincidem (mesma equação) ou não se intersectam — precisamente a definição de planos paralelos.
Portanto, norma paralela ⇒ planos paralelos (ou coincidentes).
Passo 6
Aplicando ao nosso caso: vimos no Passo 4 que
. Pelo argumento do Passo 5, isso implica que os planos
e
são paralelos (podem também coincidir em caso especial).
Passo 7
Resumo em linguagem curta e amigável (para fixar): duas retas paralelas têm direções proporcionais. Um plano perpendicular a uma reta tem sua normal paralela à direção dessa reta. Logo os dois planos têm normais paralelas. Dois planos com normais paralelas são paralelos (ou coincidentes). Portanto
.
Resposta
Os planos
e
são paralelos (podendo coincidir).