Especifique, para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente nos reais:
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a função
é crescente ou decrescente no conjunto dos números reais.
Informações dadas: a função é e o domínio natural aqui é
(todos os reais).
Informações dadas: a função é
Passo 2
Definição útil e simples (não assusta): uma função
é estritamente crescente em
se, sempre que
, tivermos
.
Analogamente, é estritamente decrescente em
se, sempre que
, tivermos
.
Aqui vou usar essa definição com .
Analogamente,
Aqui vou usar essa definição com
Passo 3
Aplicando a definição: tome quaisquer
tais que
. Calculo a diferença entre os valores:
Como
, o produto
é negativo (porque
). Logo
Isso mostra exatamente que, quando
aumenta,
diminui — ou seja, a função é estritamente decrescente.
Passo 4
Interpretação geométrica e alternativa rápida (útil na prova): a função
é uma reta com coeficiente angular (inclinação) igual a
. Sempre que a inclinação de uma reta é negativa, a reta desce quando vamos para a direita, portanto a função é decrescente.
Se você já conheceu derivadas, outra maneira curta é: para todo
, e como
em todo o domínio,
é estritamente decrescente.
Se você já conheceu derivadas, outra maneira curta é:
Passo 5
Exemplinho numérico pra fixar e te animar: para
,
; para
,
. Como
e
, confirma que aumenta
→ diminui
. Tá funcionando!
Resposta
A função
é estritamente decrescente em
.