1. Em um circuito RL série é ligada no tempo \mathrm{t}=0 \mathrm{~s} uma fonte de tensão \mathrm{DC}(+\mathrm{Vcc}). Sabendo que a expressão da corrente no indutor é dada por: i_{L}(t)=94 .\left(1-e^{-500 t}\right) m A Determine: (a)a tensão no indutor se \mathrm{L}=200 \mathrm{mH}; (b)a tensão no resistor R , sabendo que \mathrm{R}=100 \Omega;

Passo 1

O enunciado dá a corrente no indutor e pede duas tensões. Dados e pedidos (copiado do enunciado):
  • Corrente no indutor: i_{L}(t)=94\cdot\bigl(1-e^{-500 t}\bigr)\\ \text{mA}.
  • Valor do indutor: L=200\\ \text{mH}.
  • Valor do resistor: R=100\\ \Omega.
O enunciado pede:
(a) determinar a tensão no indutor v_{L}(t);
(b) determinar a tensão no resistor v_{R}(t).

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar tudo em unidades SI consistentes (ampère e henry) para evitar erro de escala. Converter a corrente de miliampère para ampère e a indutância de mili-henry para henry:
i_{L}(t)=94\cdot\bigl(1-e^{-500 t}\bigr)\\ \text{mA}=0,094\cdot\bigl(1-e^{-500 t}\bigr)\\ \text{A},
L=200\\ \text{mH}=0,2\\ \text{H}.
Explicação rápida: 1\\ \text{mA}=10^{-3}\\ \text{A} e 1\\ \text{mH}=10^{-3}\\ \text{H}.

Passo 3

Fórmula que liga tensão no indutor e corrente: a tensão instantânea no indutor é dada por
v_{L}(t)=L\;\frac{di_{L}(t)}{dt}.
Aqui:
  • v_{L}(t) é a tensão no indutor em volts;
  • L é a indutância em henry;
  • \dfrac{di_{L}(t)}{dt} é a derivada temporal da corrente (variação da corrente por segundo) em ampère por segundo.
    Vou calcular \dfrac{di_{L}(t)}{dt} em seguida.

Passo 4

Calcular a derivada usando regra da cadeia. Começando por
i_{L}(t)=0,094\cdot\bigl(1-e^{-500 t}\bigr).
A derivada de 1-e^{-500 t} em relação a t é 500\,e^{-500 t} (pois \dfrac{d}{dt}e^{-500 t}=-500 e^{-500 t}, então \dfrac{d}{dt}(1-e^{-500 t})=0-(-500 e^{-500 t})=500 e^{-500 t}). Portanto
\frac{di_{L}(t)}{dt}=0,094\cdot 500\;e^{-500 t}.
Agora fazemos a multiplicação numérica:
0,094\cdot 500 = 47,
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\frac{di_{L}(t)}{dt}=47\;e^{-500 t}\\ \text{A/s}.

Passo 5

Agora aplico v_{L}(t)=L\;\dfrac{di_{L}(t)}{dt} com L=0,2\\ \text{H}:
v_{L}(t)=0,2\cdot\bigl(47\;e^{-500 t}\bigr)=9,4\;e^{-500 t}\\ \text{V}.
Interpretação prática: a tensão no indutor é uma exponencial decrescente com amplitude inicial 9,4\\ \text{V} em t=0 e tende a zero conforme t\to\infty.

Passo 6

Tensão no resistor: pela lei de Ohm a tensão instantânea no resistor é o produto da resistência pela corrente que passa por ele:
v_{R}(t)=R\;i_{L}(t).
Substituindo R=100\\ \Omega e a forma em ampères de i_{L}(t):
v_{R}(t)=100\cdot\bigl(0,094\cdot(1-e^{-500 t})\bigr).
Fazendo a multiplicação:
100\cdot 0,094=9,4,
portanto
v_{R}(t)=9,4\cdot\bigl(1-e^{-500 t}\bigr)\\ \text{V}.

Passo 7

Checagem rápida (sanity check): somando as tensões no indutor e no resistor obtém-se a tensão da fonte (no circuito série):
v_{L}(t)+v_{R}(t)=9,4\,e^{-500 t}+9,4\,(1-e^{-500 t})=9,4\\ \text{V},
ou seja, a fonte DC tem valor fixo V_{cc}=9,4\\ \text{V}. Isso confirma consistência das expressões.

Resposta

v_{L}(t)=9,4\;e^{-500 t}\\ \text{V}
v_{R}(t)=9,4\;\bigl(1-e^{-500 t}\bigr)\\ \text{V}

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