(Energia dipolo-dipolo): A energia de interação entre dois dipolos puros será dada por:
U=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{r^{3}}\left[\vec{p}_{1} \cdot \vec{p}_{2}-3\left(\vec{p}_{1} \cdot \hat{r}\right)\left(\vec{p}_{2} \cdot \hat{r}\right)\right]
onde \vec{r} é o vetor definido pelos centros dos dipolos.
(a) Demonstre esta relação utilizando o resultado do exercício anterior e a expressão do campo gerado por um dipolo.
(b) Avalie a razão U_{c} / U_{l}, onde U_{c} corresponde a energia de interação entre dois dipolos orientados de forma coaxial ( \rightarrow \rightarrow ) a uma certa distância, e U_{l} para quando os dipolos estão desalinhados e lado a lado (\leftrightarrows) à mesma distância.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) demonstrar a fórmula da energia de interação entre dois dipolos
U=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{r^{3}}\left[\vec{p}_{1} \cdot \vec{p}_{2}-3\left(\vec{p}_{1} \cdot \hat{r}\right)\left(\vec{p}_{2} \cdot \hat{r}\right)\right]
onde \vec{r} é o vetor que vai do centro do dipolo 1 ao centro do dipolo 2 e \hat{r}=\vec{r}/r; e (b) calcular a razão U_{c}/U_{l} entre a energia no caso coaxial (ambos os dipolos alinhados ao longo de \hat r, “→→”) e a energia no caso lado a lado (dipolos paralelos entre si mas perpendiculares a \hat r, “ \leftrightarrows”), à mesma distância. \n\nInformações relevantes dadas: a expressão a demonstrar (acima) e a indicação de usar a expressão do campo gerado por um dipolo e o resultado do exercício anterior (que usaremos para calcular gradientes e identidades vetoriais). Não pedirei nada adicional: vou assumir dipolos de mesmo módulo \,p quando necessário para a razão em (b).

Passo 2

Lembrando e derivando a expressão do potencial e do campo de um dipolo pontual: tome um dipolo com momento \vec p localizado na origem. A potencial eletrostático (em regime eletrostático, em pontos fora da origem) é
V(\vec r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\vec p\cdot\vec r}{r^{3}}.
Explicando: aqui \vec r é o vetor posição do ponto onde calculamos V, r=|\vec r| e \vec p\cdot\vec r = p_x r_x + p_y r_y + p_z r_z. Esta forma é equivalente a \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\vec p\cdot\hat r}{r^{2}}. \n\nPara obter o campo elétrico usamos \vec E = -\nabla V. Vamos calcular \nabla\!\left(\dfrac{\vec p\cdot\vec r}{r^{3}}\right). Como \vec p é constante (não depende de \vec r), use produto: se f=\vec p\cdot\vec r e g=r^{-3}, então \nabla(fg)=f\nabla g + g\nabla f. Temos \nabla f=\vec p e \nabla g = -3 r^{-5}\vec r. Portanto
\nabla\!\left(\frac{\vec p\cdot\vec r}{r^{3}}\right) = (\vec p\cdot\vec r)\left(-3\frac{\vec r}{r^{5}}\right) + \frac{\vec p}{r^{3}} = -3\frac{(\vec p\cdot\vec r)\vec r}{r^{5}} + \frac{\vec p}{r^{3}}.
Tirando o sinal pelo \vec E=-\nabla V e o fator 1/(4\pi\epsilon_0), obtemos o campo de um dipolo:
\vec E(\vec r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(3\frac{(\vec p\cdot\vec r)\vec r}{r^{5}} - \frac{\vec p}{r^{3}}\right).
Podemos reescrever usando \hat r=\vec r/r como
\vec E(\vec r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^{3}}\left[3(\vec p\cdot\hat r)\hat r - \vec p\right].
Interpretação rápida: o campo tem uma parte radial 3(\vec p\cdot\hat r)\hat r e uma componente que remove \vec p em todas as direções; a dependência espacial é 1/r^{3}, típica de dipolos.

Passo 3

Agora expliquemos por que a energia potencial de um dipolo \vec p em um campo elétrico \vec E é -\vec p\cdot\vec E. Considere um dipolo em um campo uniforme \vec E. O torque sobre o dipolo é \vec\tau=\vec p\times\vec E. Se girarmos o dipolo infinitesimalmente um ângulo d\theta em torno de eixo apropriado, o trabalho infinitesimal realizado pelas forças externas é dW=\tau\,d\theta. Em termos escalares, com \theta ângulo entre \vec p e \vec E, temos \tau=pE\sin\theta, então
dW = pE\sin\theta\,d\theta.
A mudança de energia potencial (energia interna) é -dW, logo integrando de referência \theta=\pi/2 (onde tomamos U=0) até ângulo \theta,
U(\theta) = -\int_{\pi/2}^{\theta} pE\sin\theta'\,d\theta' = -pE\cos\theta = -\vec p\cdot\vec E.
Portanto a energia potencial de um dipolo \vec p_{2} colocado no campo \vec E_{1} gerado pelo dipolo 1 é
U = -\vec p_{2}\cdot\vec E_{1}(\vec r).
Isto é a identidade que vamos usar para a interação dipolo–dipolo.

Passo 4

Agora substituímos a expressão do campo do dipolo 1 em U=-\vec p_{2}\cdot\vec E_{1}. Usando
\vec E_{1}(\vec r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^{3}}\left[3(\vec p_{1}\cdot\hat r)\hat r - \vec p_{1}\right],
obtemos
U = -\vec p_{2}\cdot\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^{3}}\left[3(\vec p_{1}\cdot\hat r)\hat r - \vec p_{1}\right]\right).
Fatorando o escalar 1/(4\pi\epsilon_0 r^{3}) e distribuindo o produto escalar:
U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^{3}}\left[-3(\vec p_{1}\cdot\hat r)(\vec p_{2}\cdot\hat r) + \vec p_{2}\cdot\vec p_{1}\right].
Como produto escalar é comutativo \vec p_{2}\cdot\vec p_{1}=\vec p_{1}\cdot\vec p_{2}, reescrevemos na forma pedida:
U=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{r^{3}}\left[\vec{p}_{1} \cdot \vec{p}_{2}-3\left(\vec{p}_{1} \cdot \hat{r}\right)\left(\vec{p}_{2} \cdot \hat{r}\right)\right].
Isso completa a demonstração da parte (a). Observação física: o sinal de U indica se a interação é atrativa ( U<0 ) ou repulsiva ( U>0 ) para a configuração dada.

Passo 5

Parte (b): calcular a razão U_{c}/U_{l}. Para simplificar, suponha que ambos os dipolos têm mesmo módulo p, isto é |\vec p_{1}|=|\vec p_{2}|=p.
Caso coaxial (→→): os dipolos estão ao longo da reta que os une e apontam no mesmo sentido de \hat r. Podemos escolher
\vec p_{1}=p\hat r,\qquad \vec p_{2}=p\hat r.
Então os produtos escalares são \vec p_{1}\cdot\vec p_{2}=p^{2} e \vec p_{1}\cdot\hat r=p, \vec p_{2}\cdot\hat r=p. Substituindo na fórmula de U:
U_{c}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{1}{r^{3}}\left[p^{2}-3(p)(p)\right] = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{1}{r^{3}}(p^{2}-3p^{2}) = -\frac{2p^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r^{3}}.
Caso lado a lado ( \leftrightarrows): os dipolos são paralelos entre si mas perpendiculares à reta que os separa. Por exemplo tome \hat r em y-direção e os dipolos em x-direção:
\vec p_{1}=p\hat x,\qquad \vec p_{2}=p\hat x,\qquad \hat r=\hat y.
Então \vec p_{1}\cdot\vec p_{2}=p^{2} e \vec p_{1}\cdot\hat r=\vec p_{2}\cdot\hat r=0. Substituindo:
U_{l}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{1}{r^{3}}\left[p^{2}-3\cdot 0\right] = \frac{p^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r^{3}}.
Agora a razão:
\frac{U_{c}}{U_{l}} = \frac{-\dfrac{2p^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r^{3}}}{\dfrac{p^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r^{3}}} = -2.
Interpretação: a energia coaxial (ambos alinhados ao longo de \hat r) tem módulo duas vezes maior e sinal oposto à energia no caso lado a lado — isto significa que uma configuração pode ser atrativa enquanto a outra é repulsiva.

Resposta

(a) \displaystyle U=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{r^{3}}\left[\vec{p}_{1} \cdot \vec{p}_{2}-3\left(\vec{p}_{1} \cdot \hat{r}\right)\left(\vec{p}_{2} \cdot \hat{r}\right)\right]\n
(b) \displaystyle \frac{U_{c}}{U_{l}}=-2

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