(Energia dipolo-dipolo): A energia de interação entre dois dipolos puros será dada por:
onde
é o vetor definido pelos centros dos dipolos.
(a) Demonstre esta relação utilizando o resultado do exercício anterior e a expressão do campo gerado por um dipolo.
(b) Avalie a razão
, onde
corresponde a energia de interação entre dois dipolos orientados de forma coaxial (
) a uma certa distância, e
para quando os dipolos estão desalinhados e lado a lado
à mesma distância.
(a) Demonstre esta relação utilizando o resultado do exercício anterior e a expressão do campo gerado por um dipolo.
(b) Avalie a razão
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) demonstrar a fórmula da energia de interação entre dois dipolos
onde
é o vetor que vai do centro do dipolo 1 ao centro do dipolo 2 e
; e (b) calcular a razão
entre a energia no caso coaxial (ambos os dipolos alinhados ao longo de
, “→→”) e a energia no caso lado a lado (dipolos paralelos entre si mas perpendiculares a
, “
”), à mesma distância. \n\nInformações relevantes dadas: a expressão a demonstrar (acima) e a indicação de usar a expressão do campo gerado por um dipolo e o resultado do exercício anterior (que usaremos para calcular gradientes e identidades vetoriais). Não pedirei nada adicional: vou assumir dipolos de mesmo módulo
quando necessário para a razão em (b).
Passo 2
Lembrando e derivando a expressão do potencial e do campo de um dipolo pontual: tome um dipolo com momento
localizado na origem. A potencial eletrostático (em regime eletrostático, em pontos fora da origem) é
Explicando: aqui
é o vetor posição do ponto onde calculamos
,
e
. Esta forma é equivalente a
. \n\nPara obter o campo elétrico usamos
. Vamos calcular
. Como
é constante (não depende de
), use produto: se
e
, então
. Temos
e
. Portanto
Tirando o sinal pelo
e o fator
, obtemos o campo de um dipolo:
Podemos reescrever usando
como
Interpretação rápida: o campo tem uma parte radial
e uma componente que remove
em todas as direções; a dependência espacial é
, típica de dipolos.
Passo 3
Agora expliquemos por que a energia potencial de um dipolo
em um campo elétrico
é
. Considere um dipolo em um campo uniforme
. O torque sobre o dipolo é
. Se girarmos o dipolo infinitesimalmente um ângulo
em torno de eixo apropriado, o trabalho infinitesimal realizado pelas forças externas é
. Em termos escalares, com
ângulo entre
e
, temos
, então
A mudança de energia potencial (energia interna) é
, logo integrando de referência
(onde tomamos
) até ângulo
,
Portanto a energia potencial de um dipolo
colocado no campo
gerado pelo dipolo 1 é
Isto é a identidade que vamos usar para a interação dipolo–dipolo.
Passo 4
Agora substituímos a expressão do campo do dipolo 1 em
. Usando
obtemos
Fatorando o escalar
e distribuindo o produto escalar:
Como produto escalar é comutativo
, reescrevemos na forma pedida:
Isso completa a demonstração da parte (a). Observação física: o sinal de
indica se a interação é atrativa (
) ou repulsiva (
) para a configuração dada.
Passo 5
Parte (b): calcular a razão
. Para simplificar, suponha que ambos os dipolos têm mesmo módulo
, isto é
.
Caso coaxial (→→): os dipolos estão ao longo da reta que os une e apontam no mesmo sentido de
. Podemos escolher
Então os produtos escalares são
e
,
. Substituindo na fórmula de
:
Caso lado a lado (
): os dipolos são paralelos entre si mas perpendiculares à reta que os separa. Por exemplo tome
em
-direção e os dipolos em
-direção:
Então
e
. Substituindo:
Agora a razão:
Interpretação: a energia coaxial (ambos alinhados ao longo de
) tem módulo duas vezes maior e sinal oposto à energia no caso lado a lado — isto significa que uma configuração pode ser atrativa enquanto a outra é repulsiva.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)