Depois de pousar em um planeta desconhecido, uma exploradora do espaço constrói um pêndulo simples de
de comprimento. Ela verifica que o pêndulo simples executa 100 oscilações completas em 136 s. Qual é o valor de
nesse planeta? Um pêndulo simples, de
de comprimento, oscila em um ângulo máximo de
com a vertical. Calcule o seu período
Qual das respostas às partes (a) e (b) é mais precisa? A resposta menos precisa está errada em que porcentagem em relação à resposta mais precisa?
Qual das respostas às partes (a) e (b) é mais precisa? A resposta menos precisa está errada em que porcentagem em relação à resposta mais precisa?
Passo 1
Dados e o que o enunciado pede:\n
- Um pêndulo simples tem comprimento
. Ele faz oscilações em . Pede-se o valor de nesse planeta.\n - Um outro pêndulo simples tem comprimento
e amplitude máxima . Pede-se o período desse pêndulo.\n - Por fim, o enunciado pergunta qual das respostas (a) e (b) é mais precisa e em que porcentagem a resposta menos precisa erra em relação à mais precisa.\n
Observações importantes extraídas do enunciado: ososcilações e o tempo total permitem calcular um período médio para o pêndulo pequeno; para o pêndulo de a amplitude é relativamente grande ( ), então a fórmula de pequena amplitude pode não ser perfeitamente precisa — precisamos avaliar isso.
Passo 2
Fórmula do pêndulo (pequena amplitude) e como usá-la para achar
.\n
- Para pequenos ângulos, o período
de um pêndulo simples é dado por:
onde
é o comprimento do fio e
é a aceleração da gravidade do local. Explicando:
tem dimensão de tempo e
vem da solução harmônica da equação linearizada do movimento.\n
- Aqui, do experimento temos o tempo total para
oscilações: o período médio é
- Isolando
na fórmula:
Agora aplicamos com
e
.\n
Cálculo passo a passo:\n
Cálculo passo a passo:\n
Considerando os algarismos significativos dos dados (
tem 3 algarismos significativos e
tem 3), reportamos
com 3 algarismos significativos:
.
Passo 3
Período do pêndulo de
usando a aproximação de pequeno ângulo (primeira estimativa rápida).\n
- Usamos a mesma fórmula
com e (valor calculado no passo anterior).\n
Cálculo:
Arredondando a 3 algarismos significativos:
Passo 4
Correção pelo efeito de amplitude (porque
não é muito pequeno).\n
- Para amplitudes finitas, o período exato envolve uma integral elíptica. Uma forma prática é usar a expansão em série em potências de
(em radianos):
onde
deve ser em radianos.\n
- Convertendo
para radianos:
- Calculamos os termos da correção:\n
Somando os termos (até
):
- Assim o período corrigido é
Arredondando a 3 algarismos significativos:
Passo 5
Comparação entre aproximação de pequeno ângulo e período corrigido; cálculo do erro percentual.\n
- Período pela aproximação de pequeno ângulo:
\n - Período mais preciso (com correção de amplitude):
\n - Erro percentual da aproximação simples em relação à resposta mais precisa:
Portanto a aproximação de pequeno ângulo subestima o período em cerca de
quando
.\n
- Sobre a pergunta “qual das respostas às partes (a) e (b) é mais precisa?”: se interpretarmos “mais precisa” como “mais correta teoricamente”, a resposta de (b) com correção de amplitude (que usamos acima) é mais precisa do que a versão de (b) obtida pela aproximação de pequeno ângulo. Se a comparação for entre o valor experimental de
em (a) e o período medido/calculado em (b), não faz sentido direto comparar “precisão” porque são grandezas diferentes; mas note que o valor de em (a) foi obtido a partir do tempo médio de oscilações — isso tende a dar boa precisão experimental (reduz ruído de medição), enquanto ignorar a correção de amplitude em (b) introduz um erro sistemático de .
Resposta
(a)
\n
(b) Período pela aproximação de pequeno ângulo: \n
(b) Período com correção para :
\n
A resposta mais precisa (para o período) é a corrigida para amplitude ( ). A resposta menos precisa (a aproximação
) está errada em aproximadamente
em relação à resposta mais precisa.
(b) Período pela aproximação de pequeno ângulo:
(b) Período com correção para
A resposta mais precisa (para o período) é a corrigida para amplitude (