Depois de pousar em um planeta desconhecido, uma exploradora do espaço constrói um pêndulo simples de 50,0 \mathrm{~cm} de comprimento. Ela verifica que o pêndulo simples executa 100 oscilações completas em 136 s. Qual é o valor de g nesse planeta? Um pêndulo simples, de 2,0 \mathrm{~m} de comprimento, oscila em um ângulo máximo de 30,0^{\circ} com a vertical. Calcule o seu período
Qual das respostas às partes (a) e (b) é mais precisa? A resposta menos precisa está errada em que porcentagem em relação à resposta mais precisa?

Passo 1

Dados e o que o enunciado pede:\n
  • Um pêndulo simples tem comprimento L_{1}=50{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}500\\ \mathrm{m}. Ele faz 100 oscilações em 136\\ \mathrm{s}. Pede-se o valor de g nesse planeta.\n
  • Um outro pêndulo simples tem comprimento L_{2}=2{,}0\\ \mathrm{m} e amplitude máxima \theta_{0}=30{,}0^\circ. Pede-se o período desse pêndulo.\n
  • Por fim, o enunciado pergunta qual das respostas (a) e (b) é mais precisa e em que porcentagem a resposta menos precisa erra em relação à mais precisa.\n
    Observações importantes extraídas do enunciado: os 100 oscilações e o tempo total 136\\ \mathrm{s} permitem calcular um período médio para o pêndulo pequeno; para o pêndulo de 2{,}0\\ \mathrm{m} a amplitude é relativamente grande ( 30^\circ), então a fórmula de pequena amplitude pode não ser perfeitamente precisa — precisamos avaliar isso.

Passo 2

Fórmula do pêndulo (pequena amplitude) e como usá-la para achar g.\n
  • Para pequenos ângulos, o período T de um pêndulo simples é dado por:
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
onde L é o comprimento do fio e g é a aceleração da gravidade do local. Explicando: \sqrt{\frac{L}{g}} tem dimensão de tempo e 2\pi vem da solução harmônica da equação linearizada do movimento.\n
  • Aqui, do experimento temos o tempo total para 100 oscilações: o período médio é
T_{1}=\frac{136\\ \mathrm{s}}{100}=1{,}36\\ \mathrm{s}.
  • Isolando g na fórmula:
g=\frac{4\pi^{2}L}{T^{2}}.
Agora aplicamos com L=L_{1}=0{,}500\\ \mathrm{m} e T=T_{1}=1{,}36\\ \mathrm{s}.\n
Cálculo passo a passo:\n
4\pi^{2}\approx 39{,}4784176,
4\pi^{2}L=39{,}4784176\times 0{,}500=19{,}7392088,
T^{2}=(1{,}36)^{2}=1{,}8496,
g=\frac{19{,}7392088}{1{,}8496}\approx 10{,}6730\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Considerando os algarismos significativos dos dados ( 50{,}0\\ \mathrm{cm} tem 3 algarismos significativos e 136\\ \mathrm{s} tem 3), reportamos g com 3 algarismos significativos: g\approx 10{,}7\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Período do pêndulo de 2{,}0\\ \mathrm{m} usando a aproximação de pequeno ângulo (primeira estimativa rápida).\n
  • Usamos a mesma fórmula T_{0}=2\pi\sqrt{L_{2}/g} com L_{2}=2{,}0\\ \mathrm{m} e g=10{,}6730\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor calculado no passo anterior).\n
    Cálculo:
\frac{L_{2}}{g}=\frac{2{,}0}{10{,}6730}\approx 0{,}187424,
\sqrt{\frac{L_{2}}{g}}\approx 0{,}432882,
T_{0}=2\pi\times 0{,}432882\approx 2{,}7200\\ \mathrm{s}.
Arredondando a 3 algarismos significativos: T_{0}\approx 2{,}72\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Correção pelo efeito de amplitude (porque \theta_{0}=30^\circ não é muito pequeno).\n
  • Para amplitudes finitas, o período exato envolve uma integral elíptica. Uma forma prática é usar a expansão em série em potências de \theta_{0} (em radianos):
T \approx T_{0}\left[1+\frac{1}{16}\theta_{0}^{2}+\frac{11}{3072}\theta_{0}^{4}+\cdots\right],
onde \theta_{0} deve ser em radianos.\n
  • Convertendo \theta_{0}=30{,}0^\circ para radianos:
\theta_{0}=\frac{30{,}0\pi}{180}=\frac{\pi}{6}\approx 0{,}5235988\\ \mathrm{rad}.
  • Calculamos os termos da correção:\n
\theta_{0}^{2}\approx (0{,}5235988)^{2}\approx 0{,}2741557,
\frac{1}{16}\theta_{0}^{2}\approx 0{,}0625\times 0{,}2741557\approx 0{,}0171347,
\theta_{0}^{4}\approx (0{,}2741557)^{2}\approx 0{,}0751880,
\frac{11}{3072}\theta_{0}^{4}\approx 0{,}003579\ldots\times 0{,}0751880\approx 0{,}0002691.
Somando os termos (até \theta_{0}^{4}):
\text{fator de correção}\approx 1+0{,}0171347+0{,}0002691=1{,}0174038.çã
  • Assim o período corrigido é
T=T_{0}\times 1{,}0174038\approx 2{,}7200\times 1{,}0174038\approx 2{,}7673\\ \mathrm{s}.
Arredondando a 3 algarismos significativos: T\approx 2{,}77\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Comparação entre aproximação de pequeno ângulo e período corrigido; cálculo do erro percentual.\n
  • Período pela aproximação de pequeno ângulo: T_{0}\approx 2{,}72\\ \mathrm{s}.\n
  • Período mais preciso (com correção de amplitude): T\approx 2{,}7673\\ \mathrm{s}\approx 2{,}77\\ \mathrm{s}.\n
  • Erro percentual da aproximação simples em relação à resposta mais precisa:
\%\\ \text{erro}=\frac{|T_{0}-T|}{T}\times 100\%=\frac{|2{,}719998-2{,}76733|}{2{,}76733}\times 100\%\approx 1{,}71\%.
Portanto a aproximação de pequeno ângulo subestima o período em cerca de 1{,}71\% quando \theta_{0}=30^\circ.\n
  • Sobre a pergunta “qual das respostas às partes (a) e (b) é mais precisa?”: se interpretarmos “mais precisa” como “mais correta teoricamente”, a resposta de (b) com correção de amplitude (que usamos acima) é mais precisa do que a versão de (b) obtida pela aproximação de pequeno ângulo. Se a comparação for entre o valor experimental de g em (a) e o período medido/calculado em (b), não faz sentido direto comparar “precisão” porque são grandezas diferentes; mas note que o valor de g em (a) foi obtido a partir do tempo médio de 100 oscilações — isso tende a dar boa precisão experimental (reduz ruído de medição), enquanto ignorar a correção de amplitude em (b) introduz um erro sistemático de \approx 1{,}71\%.

Resposta

(a) g\approx 10{,}7\\ \mathrm{m/s^{2}}\n
(b) Período pela aproximação de pequeno ângulo: T_{0}\approx 2{,}72\\ \mathrm{s}\n
(b) Período com correção para \theta_{0}=30{,}0^\circ: T\approx 2{,}77\\ \mathrm{s}\n
A resposta mais precisa (para o período) é a corrigida para amplitude ( T\approx 2{,}77\\ \mathrm{s}). A resposta menos precisa (a aproximação T_{0}) está errada em aproximadamente 1{,}71\% em relação à resposta mais precisa.

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