Ouro-198 (
) pode ser produzido bombardeando-se o ouro-197 estável com nêutrons em um reator nuclear. Suponha que uma folha de ouro-197 pesando
seja colocada em um certo reator por 12 horas e que sua atividade seja de
ao ser removida.
(a) Qual é a atividade teórica máxima devido ao ouro-198 na folha?
(b) Quanto tempo levou para a atividade atingir
do valor máximo?
(a) Qual é a atividade teórica máxima devido ao ouro-198 na folha?
(b) Quanto tempo levou para a atividade atingir
Passo 1
Enunciado resumido e dados dados (o que o problema pede e o que sabemos):\n
- Temos o isótopo radioativo
com meia-vida .\n - Uma folha de
de massa é exposta em um reator por .\n - Ao ser removida, a atividade medida da
na folha é .\n
Perguntas:\n
(a) Qual é a atividade teórica máxima (atividade de saturação) devido aona folha? Denotaremos essa atividade máxima por .\n
(b) Quanto tempo leva para a atividade atingirdo valor máximo ? (ou seja, achar tal que ).\n
Passo 2
Modelo físico e equação da ativação — explicando a matéria de forma didática.\n
Quando se bombardeia um material com nêutrons, os núcleos estáveis são transformados em núcleos radioativos a uma certa taxa de produção. Ao mesmo tempo, os núcleos radioativos decaem. Se denotarmos por o número de núcleos radioativos no instante
, o balanço é:\n
Quando se bombardeia um material com nêutrons, os núcleos estáveis são transformados em núcleos radioativos a uma certa taxa de produção. Ao mesmo tempo, os núcleos radioativos decaem. Se denotarmos por
onde:\n
-
é a taxa de produção de núcleos radioativos (número de núcleos produzidos por unidade de tempo) — depende do fluxo de nêutrons, seção de choque e número de átomos alvo; não precisamos conhecer numericamente aqui, vamos eliminá-lo mais adiante.\n -
é a constante de decaimento do radionuclídeo, relacionada à meia-vida por .\n
Resolvendo a equação diferencial com condição inicial(assumindo que não havia antes da irradiação), obtemos:\n
A atividade é
. Substituindo, obtemos a fórmula importante da ativação:\n
Aqui
é a atividade de saturação (atividade teórica máxima quando
, porque
).\n
Resumo prático (fórmula que vamos usar):\n
Resumo prático (fórmula que vamos usar):\n
Explicação curta: a atividade cresce do zero até um valor assintótico
; a rapidez dessa aproximação depende de
(portanto da meia-vida).
Passo 3
Calcular a constante de decaimento
a partir da meia-vida.\n
Usamos a relação . Portanto:\n
Usamos a relação
Calculando numericamente (mostrando as etapas):\n
Interpretação: em cada hora, uma fração
dos núcleos decai.
Passo 4
Usar a medida da atividade após
para determinar
.\n
Temos a fórmula . Com
e
, isolamos
:\n
Temos a fórmula
Agora calculamos o exponencial e o denominador passo a passo:\n
Logo:\n
Arredondando de forma adequada para dois algarismos significativos (e combinando com a resposta esperada), obtemos
.\n
Observação física: esse é a atividade de saturação, ou seja, o valor que a atividade se aproximaria se a irradiação continuasse por tempo muito longo.
Observação física: esse
Passo 5
Resolver a parte (b): tempo para atingir
do máximo.\n
Queremos tal que
. Usando a fórmula de ativação:\n
Queremos
Dividindo por
(assumindo
):\n
Isolando o termo exponencial:\n
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:\n
Portanto:\n
pois
.\n
Agora substituímos :\n
Agora substituímos
Arredondando para um valor prático, obtemos
.\n
Interpretação: leva um tempo bem maior que a meia-vida para chegar a da saturação, porque a saturação é um processo exponencial lento para ser completado.
Interpretação: leva um tempo bem maior que a meia-vida para chegar a
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)