Qual é a energia de um elétron
no íon
?
Qual é o momento angular de um elétron
no íon
?
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas separadas:
- “Qual é a energia de um elétron
no íon ?” - “Qual é o momento angular de um elétron
no íon ?”
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (ou que podemos inferir diretamente do enunciado):
- O íon
é um íon de lítio com carga . O núcleo do lítio tem número atômico . Como é , resta um único elétron: é um sistema hidrogenoide com . - O elétron pedido está no estado
, portanto o número quântico principal é e o número quântico azimutal é (mas para energia de um hidrogenoide a energia depende só de ). - O íon
é um íon de berílio com carga . O núcleo do berílio tem . Como é , resta um único elétron: é um sistema hidrogenoide com . - O elétron pedido está no estado
, portanto e .
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Conceito e fórmula para a energia de um elétron em um átomo hidrogenoide (átomo com um só elétron, carga nuclear
). Vou explicar o que significa e de onde vem a fórmula de forma simples, usando uma ideia que você já conhece: os níveis energéticos quantizados do átomo de Hidrogênio. Para um átomo hidrogenoide (um elétron, núcleo com carga
), os níveis de energia discretos são dados por:
onde:
-
é a energia do nível com número quântico principal . -
é o número atômico (número de prótons no núcleo). -
é a energia do nível do hidrogênio (constante de Rydberg em energia), que vale .
Explicação rápida do porquê: tanto pela solução da equação de Schrödinger para potencial coulombiano quanto pelo modelo de Bohr, a dependência é. Não precisamos derivar a equação completa aqui na prova — basta decorar/lembrar essa fórmula e saber o significado de cada parâmetro.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso 1 (
,
, elétron em
com
). Substituímos:
Calcule passo a passo:
-
. -
. - Então o fator é
. - Multiplicando:
.
Portanto
Observação didática: o fato de ser
(em vez de
) não altera a energia num átomo hidrogenoide ideal — para esses sistemas a energia depende só de
.
Passo 4
Agora vamos ao momento angular do elétron
no íon
. Primeiro, revisar o que são os números quânticos e a fórmula do momento angular orbital (magnitude) na mecânica quântica:
- O número quântico principal é
(aqui ). Ele define a energia (para hidrogenoides). - O número quântico azimutal (ou orbital) é
. Para orbitais temos . Para um orbital vale . - O momento angular orbital (magnitude) é dado por
onde
é a constante de Planck reduzida. Além disso, a componente
do momento angular é quantizada como
com
sendo o número quântico magnético e
.
Passo 5
Aplicando ao caso 2 (
com elétron
). Para
temos
. Então:
- Magnitude do momento angular:
- Componente
: se quiser saber, como o único possível é , logo
Interpretação física amigável: um elétron em orbital
não tem momento angular orbital (em magnitude) — a distribuição é esférica e não há “giro” orbital no sentido clássico.