Qual é a energia de um elétron 2 p no íon \mathrm{Li}^{++}?
Qual é o momento angular de um elétron 2 s no íon \mathrm{Be}^{+++}?

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas separadas:
  1. “Qual é a energia de um elétron 2p no íon \mathrm{Li}^{++}?”
  2. “Qual é o momento angular de um elétron 2s no íon \mathrm{Be}^{+++}?”
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (ou que podemos inferir diretamente do enunciado):
  • O íon \mathrm{Li}^{++} é um íon de lítio com carga +2. O núcleo do lítio tem número atômico Z=3. Como é \mathrm{Li}^{++}, resta um único elétron: é um sistema hidrogenoide com Z=3.
  • O elétron pedido está no estado 2p, portanto o número quântico principal é n=2 e o número quântico azimutal é l=1 (mas para energia de um hidrogenoide a energia depende só de n).
  • O íon \mathrm{Be}^{+++} é um íon de berílio com carga +3. O núcleo do berílio tem Z=4. Como é \mathrm{Be}^{+++}, resta um único elétron: é um sistema hidrogenoide com Z=4.
  • O elétron pedido está no estado 2s, portanto n=2 e l=0.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conceito e fórmula para a energia de um elétron em um átomo hidrogenoide (átomo com um só elétron, carga nuclear Z). Vou explicar o que significa e de onde vem a fórmula de forma simples, usando uma ideia que você já conhece: os níveis energéticos quantizados do átomo de Hidrogênio. Para um átomo hidrogenoide (um elétron, núcleo com carga +Ze), os níveis de energia discretos são dados por:
E_n = -\,\frac{Z^{2} \cdot E_{\mathrm{Ry}}}{n^{2}}
onde:
  • E_n é a energia do nível com número quântico principal n.
  • Z é o número atômico (número de prótons no núcleo).
  • E_{\mathrm{Ry}} é a energia do nível n=1 do hidrogênio (constante de Rydberg em energia), que vale \,13{,}6\\ \text{eV}.
    Explicação rápida do porquê: tanto pela solução da equação de Schrödinger para potencial coulombiano quanto pelo modelo de Bohr, a dependência é \propto -Z^{2}/n^{2}. Não precisamos derivar a equação completa aqui na prova — basta decorar/lembrar essa fórmula e saber o significado de cada parâmetro.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso 1 ( \mathrm{Li}^{++}, Z=3, elétron em 2p com n=2). Substituímos:
E_n = -\,\frac{Z^{2}\,E_{\mathrm{Ry}}}{n^{2}} = -\,\frac{3^{2}\cdot 13{,}6\\ \text{eV}}{2^{2}}.
Calcule passo a passo:
  • 3^{2}=9.
  • 2^{2}=4.
  • Então o fator é \dfrac{9}{4}=2{,}25.
  • Multiplicando: 13{,}6\cdot 2{,}25 = 13{,}6\cdot 2 + 13{,}6\cdot 0{,}25 = 27{,}2 + 3{,}4 = 30{,}6.
    Portanto
E_{n=2} = -\,30{,}6\\ \text{eV}.
Observação didática: o fato de ser 2p (em vez de 2s) não altera a energia num átomo hidrogenoide ideal — para esses sistemas a energia depende só de n.

Passo 4

Agora vamos ao momento angular do elétron 2s no íon \mathrm{Be}^{+++}. Primeiro, revisar o que são os números quânticos e a fórmula do momento angular orbital (magnitude) na mecânica quântica:
  • O número quântico principal é n (aqui n=2). Ele define a energia (para hidrogenoides).
  • O número quântico azimutal (ou orbital) é l. Para orbitais s,p,d,\dots temos l=0,1,2,\dots. Para um orbital s vale l=0.
  • O momento angular orbital (magnitude) é dado por
L = \sqrt{l(l+1)}\,\hbar,
onde \hbar é a constante de Planck reduzida. Além disso, a componente z do momento angular é quantizada como
L_z = m\hbar,
com m sendo o número quântico magnético e m\in\{-l,-l+1,\dots,l\}.

Passo 5

Aplicando ao caso 2 ( \mathrm{Be}^{+++} com elétron 2s). Para 2s temos l=0. Então:
  • Magnitude do momento angular:
L = \sqrt{0\cdot(0+1)}\,\hbar = \sqrt{0}\,\hbar = 0.
  • Componente z: se quiser saber, como l=0 o único m possível é m=0, logo
L_z = m\hbar = 0\cdot\hbar = 0.
Interpretação física amigável: um elétron em orbital s não tem momento angular orbital (em magnitude) — a distribuição é esférica e não há “giro” orbital no sentido clássico.

Resposta

-30{,}6\\ \text{eV}
0

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