A energia de Fermi para o cobre em T=300 \mathrm{~K} é 7,0 \mathrm{eV}. Os elétrons no cobre seguem a função de distribuição de Fermi-Dirac.
c. Repita o item (a) para E=6,85 \mathrm{eV} e T=300 \mathrm{~K}.
Equação: f(E)=\frac{1}{1+e^{\left(E-E_{F}\right) / k T}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a probabilidade de ocupação dos elétrons no nível de energia dado pela função de Fermi–Dirac para E=6{,}85\\ \mathrm{eV} e T=300\\ \mathrm{K}. Dados fornecidos:
  • Energia de Fermi: E_{F}=7{,}0\\ \mathrm{eV}.
  • Energia a avaliar: E=6{,}85\\ \mathrm{eV}.
  • Temperatura: T=300\\ \mathrm{K}.
  • Fórmula dada: f(E)=\frac{1}{1+e^{\left(E-E_{F}\right)/kT}}.
Objetivo: calcular numericamente f(E) e interpretar o resultado.

Passo 2

Entendendo a fórmula e as variáveis (aula rápida e prática).
  • f(E) é a probabilidade (entre 0 e 1) de um estado de energia E estar ocupado por um elétron.
  • E e E_{F} estão em unidades de energia (aqui em \mathrm{eV}).
  • k é a constante de Boltzmann. Para usar energias em \mathrm{eV} convém usar k em \mathrm{eV/K}. O valor numérico é aproximadamente k=8{,}617333262\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
  • T é a temperatura em kelvin.
    Para calcular f(E) vamos primeiro obter kT em \mathrm{eV}, depois o expoente \dfrac{E-E_F}{kT}, em seguida avaliar a exponencial e finalmente a fração.

Passo 3

Calcular kT em \mathrm{eV}:
kT = \left(8{,}617333262\times10^{-5}\right)\times300 \\ \mathrm{eV} = 0{,}025851999786\\ \mathrm{eV}.
Arredondando de forma conveniente para os cálculos manuais, use kT\approx0{,}02585\\ \mathrm{eV}.

Passo 4

Calcular a diferença de energia e o expoente:
E-E_{F} = 6{,}85 - 7{,}0 = -0{,}15\\ \mathrm{eV}.
\frac{E-E_{F}}{kT} = \frac{-0{,}15}{0{,}025851999786}\approx -5{,}8036.

Passo 5

Avaliar a exponencial \displaystyle e^{\frac{E-E_{F}}{kT}} = e^{-5{,}8036}.
Uma forma prática de estimar é decompor:
e^{-5{,}8036}=e^{-5}\cdot e^{-0{,}8036}\approx 0{,}0067379\times0{,}4476\approx0{,}003016.
Portanto \displaystyle e^{\frac{E-E_{F}}{kT}}\approx0{,}003016.

Passo 6

Substituir na fórmula de Fermi–Dirac:
f(E)=\frac{1}{1+e^{\left(E-E_{F}\right)/kT}}=\frac{1}{1+0{,}003016}\approx\frac{1}{1{,}003016}\approx0{,}99699.
Em porcentagem isso é aproximadamente 99{,}699\%, ou arredondando, 99{,}70\%.

Passo 7

Interpretação física e dica para prova:
  • Como E está abaixo de E_F por 0{,}15\\ \mathrm{eV}, e isso corresponde a \approx5{,}8\\ kT, o estado está muito provavelmente ocupado — por isso o valor próximo de 1.
  • Regra prática: se (E-E_F)/kT \ll -1 (isto é, vários -kTs), então f(E)\approx1; se (E-E_F)/kT \gg +1, f(E)\approx0. Para diferenças moderadas pode-se usar a fórmula exata.
  • Para uma aproximação rápida quando E<E_F e |E-E_F|\gg kT, pode-se usar f(E)\approx1-e^{(E-E_F)/kT}; aqui isso daria 1-0{,}003016\approx0{,}99698, consistindo com o resultado exato.

Resposta

f(E)\approx0{,}99699 (aprox. 99{,}70\%)

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