A energia livre de Gibbs de um mol de um gás é dada por
G(T, P)=RT ln APT^5 / 2+BP onde A e B são constantes ã
Determine,
a) a entropia molar S(T, P)
b) escreva dS(T, P)
c) encontre a equação de transformação adiabática desse gás em termos das variáveis P e T.

Passo 1

O enunciado nos dá a energia livre de Gibbs por mol de um gás ideal na forma
G(T,P)=RTlnAPT^5/2+BP
com A e B constantes.
a) Precisamos usar a relação termodinâmica
S(T,P)=-gl(partial Gpartial Tgr)P
para achar a entropia molar S(T,P).
b) Depois calculamos o diferencial total dS em função de dT e dP.
c) Finalmente, para uma transformação adiabática temos dS=0, o que nos dá a relação entre P e T.

Passo 2

Calcular S(T,P)=-l(partial G/partial Tr)P.
Escrevemos primeiro
G(T,P)=RTl[ln(AP)-tfrac52ln Tr]+BP
Derivando em T a pressão fixa:
partial Gpartial T =Rl[ln(AP)-tfrac52ln Tr] +RTl(-tfrac52cdot1Tr) =Rln(AP)-tfrac52Rln T-tfrac52R
Logo,
S(T,P) =-partial Gpartial T =-Rln(AP)+52Rln T+52R =RlnT^5/2AP+52R

Passo 3

Obter o diferencial total dS(T,P).
Da expressão
S(T,P)=52Rln T - Rln P - Rln A + 52R
vemos
l(partial S/partial Tr)P =52Rcdot1T, l(partial S/partial Pr)T =-Rcdot1P
Portanto
dS(T,P) =5R2T,dT ;-;RP,dP

Passo 4

Encontrar a equação adiabática: para transformação adiabática dS=0, então
5R2T,dT-RP,dP=0 ;;Longrightarrow;; 52dTT=dPP
Integrando,
52ln T=ln P+const ;;Longrightarrow;; lnT^5/2P=const ;;Longrightarrow;; T^5/2P=const

Resposta

a) S(T,P)=RlnT^5/2AP+52R
b) dS(T,P)=5R2T,dT-RP,dP
c) Equação adiabática: T^5/2P=const.

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