Considere um gás que passa por uma compressão adiabática.
a)mostre que a variação da temperatura do gás com a pressão nesse processo é
(partial Tpartial P)S=(partial Vpartial T)PCpT
b)Calcule essa razão para o gás de Van de Waals

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre, para um gás submetido a uma compressão adiabática, que
l(partial Tpartial Pr)S =l(partial Vpartial Tr)PCp/T
e depois que calcule essa razão no caso de um gás de Van der Waals.
O conteúdo essencial aqui é usar as derivadas parciais de entropia e as relações de Maxwell, além da equação de estado de Van der Waals
P=R,TV-b-aV^2,

Passo 2

Para derivar l(partial Tpartial Pr)S escrevemos a diferencial total de S em variáveis (T,P). Sabemos que
l(partial Spartial Tr)P=CpT , l(partial Spartial Pr)T =-l(partial Vpartial Tr)P
(esta última é uma das relações de Maxwell). Logo
dS =l(partial Spartial Tr)PdT +l(partial Spartial Pr)TdP =CpT,dT -l(partial Vpartial Tr)PdP

Passo 3

Como o processo é adiabático, dS=0. Logo
0=CpT,dT -l(partial Vpartial Tr)PdP Longrightarrow CpT,dT =l(partial Vpartial Tr)PdP

Passo 4

Isolando l(partial Tpartial Pr)S na última expressão obtemos
l(partial Tpartial Pr)S =l(partial Vpartial Tr)PCp/T,
que é justamente o que se queria demonstrar.

Passo 5

Agora, para o gás de Van der Waals, temos
P=R,TV-b-aV^2
Mantendo P constante e derivando em relação a T, obtemos
0 =partialpartial Tl[R,TV-b-aV^2r]P =RV-b -R,T(V-b)^2 l(partial Vpartial Tr)P +2,aV^3 l(partial Vpartial Tr)P
Agrupando os termos com l(partial Vpartial Tr)P:
RV-b =l(partial Vpartial Tr)P l[R,T(V-b)^2-2,aV^3r]

Passo 6

Dessa equação isolamos
l(partial Vpartial Tr)P = RV-b R,T(V-b)^2-2,aV^3 =R,(V-b)^-1 R,T,(V-b)^-2-2,a,V^-3
Substituindo em
l(partial Tpartial Pr)S = TCpl(partial Vpartial Tr)P, resulta
l(partial Tpartial Pr)S =TCp ;R/(V-b) R,T/(V-b)^2-2,a/V^3

Resposta

l(partial Tpartial Pr)S =l(partial Vpartial Tr)PCp/T,
e para o gás de Van der Waals
l(partial Tpartial Pr)S =TCp ; RV-b R,T(V-b)^2-2,aV^3

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