Partir da definição da função energia livre de Gibbs G=mu N e da sua forma diferencial para mostrar que ,
a) S d T-V d P+N d mu=0
b) Usando a equação acima encontre as expressões da entropia por partícula e do volume por partícula.

Passo 1

O enunciado usa a definição da energia livre de Gibbs
G = mu,N
e pede para mostrar, a partir da sua forma diferencial, que
S,dT - V,dP + N,dmu = 0
O conteúdo aqui é a termodinâmica dos potenciais de estado, em particular a diferencial de G, e depois extrair expressões para a entropia por partícula s=S/N e o volume por partícula v=V/N.

Passo 2

Lembramos que, pela definição de Gibbs em termos de U, T, S, P, V,
G = U + P,V - T,S
e aplica-se o diferencial total, obtendo-se a forma canônica
dG = -S,dT + V,dP + mu,dN

Passo 3

Por outro lado, usando diretamente G=mu,N e diferenciando,
dG = mu,dN + N,dmu

Passo 4

Igualando as duas expressões para dG:
-,S,dT + V,dP + mu,dN ;=; mu,dN + N,dmu
Como mu,dN aparece em ambos os lados, ele se cancela, restando
-,S,dT + V,dP = N,dmu
ou, reorganizando,
S,dT - V,dP + N,dmu = 0,
que é exatamente o que se pedia no item (a).

Passo 5

Para o item (b), basta dividir essa relação por N:
SN,dT ;-;VN,dP ;+;dmu = 0
Definindo
s = SN, v = VN,
temos
dmu = -,s,dT + v,dP
Como mu é função de (T,P), esse diferencial identifica
s = -l(partial mupartial Tr)P, v = l(partial mupartial Pr)T

Resposta

a) S,dT - V,dP + N,dmu = 0
b) Entropia por partícula
s = SN = -l(partial mupartial Tr)P,
Volume por partícula
v = VN = l(partial mupartial Pr)T

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