Escreva a forma diferencial da 2^a Lei da Termodinâmica para N variável como função de T , Ve Ne mostre a relação,
(partial Upartial N)T, V=mu-T(partial mupartial T)V, N mu é o potencial químico.

Passo 1

O enunciado pede primeiro a forma diferencial da segunda lei (energia interna variável em N) como função das variáveis naturais (S,V,N) e depois quer que reescrevamos isso em termos de (T,V,N) para obter a relação
l(partial Upartial Nr)T,V = mu - Tl(partial mupartial Tr)V,N,
onde mu é o potencial químico.

Passo 2

A forma fundamental da primeira e segunda leis juntas (o chamado potencial de energia interna) é
dU = T,dS - p,dV + mu,dN,
que mostra como a energia interna U varia com entropia S, volume V e número de partículas N.

Passo 3

Queremos agora escrever dU em função dos diferenciais de T,V,N. Para isso, expandimos
dU = l(partial Upartial Tr)V,NdT + l(partial Upartial Vr)T,NdV + l(partial Upartial Nr)T,VdN
e, por outro lado, usamos
dU = T,dS - p,dV + mu,dN
com
dS = l(partial Spartial Tr)V,NdT + l(partial Spartial Vr)T,NdV + l(partial Spartial Nr)T,VdN
Igualando coeficientes de dN dos dois lados, obtemos
l(partial Upartial Nr)T,V = T,l(partial Spartial Nr)T,V +mu

Passo 4

Para relacionar l(partial S/partial Nr)T,V com derivadas de mu, usamos o potencial de Helmholtz
F = U - T,S,
cuja diferencial é
dF = -S,dT - p,dV + mu,dN
Deste resultado tiramos
S = -l(partial Fpartial Tr)V,N, mu = l(partial Fpartial Nr)T,V
Como derivadas mistas de F com respeito a T e N comutam, segue
l(partial Spartial Nr)T,V = -,l(partialpartial Npartial Fpartial Tr) = -,l(partialpartial Tpartial Fpartial Nr) = -,l(partial mupartial Tr)V,N

Passo 5

Substituindo esse resultado em
l(partial Upartial Nr)T,V = T,l(partial Spartial Nr)T,V +mu
vemos que
l(partial Upartial Nr)T,V = mu - T,l(partial mupartial Tr)V,N,
que é justamente a relação desejada.

Resposta

A forma diferencial da segunda lei é
dU = T,dS - p,dV + mu,dN
e, em seguida, mostra-se que
l(partial Upartial Nr)T,V = mu - T,l(partial mupartial Tr)V,N

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