Escreva a forma diferencial da
Lei da Termodinâmica para N variável como função de T , Ve Ne mostre a relação,
é o potencial químico.
Passo 1
O enunciado pede primeiro a forma diferencial da segunda lei (energia interna variável em
) como função das variáveis naturais
e depois quer que reescrevamos isso em termos de
para obter a relação
onde
é o potencial químico.
Passo 2
A forma fundamental da primeira e segunda leis juntas (o chamado potencial de energia interna) é
que mostra como a energia interna
varia com entropia
, volume
e número de partículas
.
Passo 3
Queremos agora escrever
em função dos diferenciais de
. Para isso, expandimos
e, por outro lado, usamos
com
Igualando coeficientes de
dos dois lados, obtemos
Passo 4
Para relacionar
com derivadas de
, usamos o potencial de Helmholtz
cuja diferencial é
Deste resultado tiramos
Como derivadas mistas de
com respeito a
e
comutam, segue
Passo 5
Substituindo esse resultado em
vemos que
que é justamente a relação desejada.
Resposta
A forma diferencial da segunda lei é
e, em seguida, mostra-se que