A energia livre de Helmholtz de um gás com N partículas, volume V e temperatura T é,
F(T, V, N)=-N KB T(1-Ln N+Ln(a T^3 / 2 V)
a é constante e KB a constante de Boltzmann. Calcule como função de T,V,N
a) o potencial químico. Mostre que mu é intensivo.
b) a entropia

Passo 1

O enunciado dá a energia livre de Helmholtz de um gás ideal
F(T,V,N)=-N KBTl(1-ln N+lnl(a,T^3/2Vr)r)
em que a e KB são constantes. Precisamos usar as definições
mu = l(partial Fpartial Nr)T,V e S = -l(partial Fpartial Tr)V,N
para obter o potencial químico e a entropia em função de (T,V,N), e então verificar que mu é intensivo.

Passo 2

Para facilitar a derivação, note que
1-ln N+lnl(a,T^3/2Vr) =1+ln!l(tfraca,T^3/2VNr)
Logo podemos escrever
F=-N KBTl[1+ln!l(tfraca,T^3/2VNr)r]
Agora aplicamos
mu=(partial F/partial N)T,V. Usando regra do produto em N:
partial Fpartial N =-KBTl[1+ln!l(tfraca,T^3/2VNr)r] -NKBTl(partialpartial Nln!tfracaT^3/2VNr)
Como partialNln(aT^3/2V/N)=-1/N, obtemos
mu =-KBTl[1+ln!l(tfraca,T^3/2VNr)r] +KBT =-KBTln!l(tfraca,T^3/2VNr)
Reescrevendo,
mu = KBT,ln!l(tfracNa,T^3/2Vr)

Passo 3

Para ver que mu é intensivo, note que a expressão
KBTln!l(N/(a,T^3/2V)r)
depende apenas de T e da densidade N/V, não do tamanho absoluto N. Portanto mu não muda se duplicarmos N e V mantendo N/V constante, caracterizando-o como grandeza intensiva.

Passo 4

Agora calculamos a entropia
S=-(partial F/partial T)V,N. Partindo de
F=-N KBTl[1+ln!l(a,Vr)+tfrac32ln T-ln Nr],
definimos
g(T)=Tl[A+tfrac32ln Tr]
em que A=1+ln(aV)-ln N. Então
d gdT =A+tfrac32ln T + Tcdot32cdot1T =A+tfrac32ln T+tfrac32
Logo
partial Fpartial T =-N KBl[A+tfrac32ln T+tfrac32r],
e
S = -partial Fpartial T = N KBl[1+ln(aV)-ln N+tfrac32ln T+tfrac32r]
Reagrupando termos:
S = N KBl[tfrac52+ln!l(tfraca,V,T^3/2Nr)r]

Resposta

mu = KBTln!l(tfracNa,T^3/2Vr), que é intensivo.
S = N KBl[tfrac52+ln!l(tfraca,V,T^3/2Nr)r]

Exercícios relacionados