A energia livre de Helmholtz de um gás com N partículas, volume V e temperatura T é,
a é constante e
a constante de Boltzmann. Calcule como função de T,V,N
a) o potencial químico. Mostre que
é intensivo.
b) a entropia
a) o potencial químico. Mostre que
b) a entropia
Passo 1
O enunciado dá a energia livre de Helmholtz de um gás ideal
em que
e
são constantes. Precisamos usar as definições
para obter o potencial químico e a entropia em função de
, e então verificar que
é intensivo.
Passo 2
Para facilitar a derivação, note que
Logo podemos escrever
Agora aplicamos
. Usando regra do produto em
:
Como
, obtemos
Reescrevendo,
Passo 3
Para ver que
é intensivo, note que a expressão
depende apenas de e da densidade
, não do tamanho absoluto
. Portanto
não muda se duplicarmos
e
mantendo
constante, caracterizando-o como grandeza intensiva.
depende apenas de
Passo 4
Agora calculamos a entropia
. Partindo de
definimos
em que . Então
Logo
em que
Logo
e
Reagrupando termos: