Um voltímetro ideal está conectado aos terminais de uma bateria de fem \mathcal{E}=6,0 \mathrm{~V}, e um aparelho eletrodoméstico com resistência elétrica R=40,0 \Omega também está conectado a esses terminais. Se a leitura do voltímetro for de 10,0 \mathrm{~V}, determine:
(A) A potência que está sendo dissipada pelo aparelho;
(B) A resistência interna da bateria;
(C) A eficiência da bateria.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede três coisas claras.
  • Dados fornecidos:
    \mathcal{E}=6{,}0\\ \mathrm{V} (fem da bateria),
    R=40{,}0\\ \Omega (resistência do aparelho),
    a leitura do voltímetro (tensão nos terminais) é V_{\text{term}}=10{,}0\\ \mathrm{V}.
  • O voltímetro é ideal (resistência interna infinita), logo não altera a corrente do circuito; ele apenas mede a tensão entre os terminais da bateria.
  • Pedidos:
    (A) A potência dissipada pelo aparelho (resistor R).
    (B) A resistência interna r da bateria.
    (C) A eficiência da bateria.

Passo 2

Entender o modelo elétrico da bateria e o sinal das grandezas (aula curta e prática).
  • Uma bateria real pode ser modelada como uma fem ideal \mathcal{E} em série com uma resistência interna r.
  • A tensão nos terminais da bateria (o que o voltímetro lê) é, em geral,
V_{\text{term}}=\mathcal{E}-I\,r
quando a bateria está fornecendo corrente I ao circuito (descarga). Mas, se a tensão nos terminais for maior que \mathcal{E} (isto é, V_{\text{term}}>\mathcal{E}), isso indica que a corrente está entrando na bateria (ela está sendo carregada). Nesse caso a relação, em módulo, fica
V_{\text{term}}=\mathcal{E}+I\,r.
  • Aqui o número dado mostra V_{\text{term}}=10{,}0\\ \mathrm{V}>\mathcal{E}=6{,}0\\ \mathrm{V}, portanto a bateria está sendo carregada e usaremos
V_{\text{term}}=\mathcal{E}+I\,r.
  • Nota sobre o sinal de I: vou tomar I como a intensidade da corrente que passa pelo resistor R (positivo no sentido do fluxo convencional de corrente por esse resistor). Como o terminal é maior que a fem, essa corrente está entrando na bateria, mas os cálculos de magnitude são os mesmos.

Passo 3

Calcular a corrente que passa pelo aparelho usando a Lei de Ohm (conceito e fórmula).
  • Lei de Ohm para um resistor ôhmico: a tensão V sobre o resistor e a corrente I que o atravessa estão relacionadas por
V=I\,R,
onde V é a diferença de potencial nos terminais do resistor, I é a corrente e R é a resistência.
  • Aqui a tensão sobre o aparelho é exatamente a leitura do voltímetro, V_{\text{term}}=10{,}0\\ \mathrm{V}. Logo a corrente em módulo é
I=\frac{V_{\text{term}}}{R}.
  • Substituindo os valores:
I=\frac{10{,}0}{40{,}0}=\frac{10}{40}=0{,}25\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Calcular a potência dissipada pelo aparelho (passo a passo da fórmula e substituição).
  • Fórmulas úteis para potência dissipada em um resistor:
    • P=V\,I,
    • usando V=I\,R podemos também escrever P=I^{2}R ou P=\dfrac{V^{2}}{R}.
  • Aqui é conveniente usar P=\dfrac{V_{\text{term}}^{2}}{R} porque temos V_{\text{term}} e R conhecidos.
  • Calculando:
P_{\text{aparelho}}=\frac{V_{\text{term}}^{2}}{R}=\frac{(10{,}0)^{2}}{40{,}0}=\frac{100}{40}=2{,}5\\ \mathrm{W}.
  • Interpretação: o aparelho está dissipando 2{,}5\\ \mathrm{W} em forma de calor/energia elétrica.

Passo 5

Determinar a resistência interna r da bateria usando a relação entre V_{\text{term}}, \mathcal{E} e I.
  • Como vimos no Passo 2, para V_{\text{term}}>\mathcal{E} a relação é
V_{\text{term}}=\mathcal{E}+I\,r.
  • Isolando r:
r=\frac{V_{\text{term}}-\mathcal{E}}{I}.
  • Substituindo os valores numéricos ( V_{\text{term}}=10{,}0\\ \mathrm{V}, \mathcal{E}=6{,}0\\ \mathrm{V}, I=0{,}25\\ \mathrm{A}):
r=\frac{10{,}0-6{,}0}{0{,}25}=\frac{4{,}0}{0{,}25}=16{,}0\\ \Omega.
  • Conclusão: a resistência interna da bateria é 16{,}0\\ \Omega.

Passo 6

Entender e calcular a eficiência da bateria (definição prática usada aqui).
  • Quando a bateria está sendo carregada (como neste caso), parte da potência elétrica fornecida ao terminal é transformada em energia química armazenada na bateria e parte é dissipada como calor na resistência interna r.
  • A potência elétrica fornecida aos terminais (potência que entra na bateria) é
P_{\text{fornecida}}=V_{\text{term}}\,I.
  • A potência que realmente entra na forma química (taxa de armazenamento) é
P_{\text{química}}=\mathcal{E}\,I.í
Isto porque \mathcal{E} é a fem interna; o produto \mathcal{E}I é a potência associada à transformação química (sinal positivo indica energia entrando na bateria quando carregando).
  • A eficiência \eta pode ser definida como fração da potência fornecida que é convertida em energia química:
\eta=\frac{P_{\text{química}}}{P_{\text{fornecida}}}=\frac{\mathcal{E}\,I}{V_{\text{term}}\,I}=\frac{\mathcal{E}}{V_{\text{term}}}.í
  • Note que os I cancelam, então a eficiência é simplesmente razão entre a fem e a tensão terminal quando a bateria está sendo carregada.
  • Substituindo:
\eta=\frac{6{,}0}{10{,}0}=0{,}6=60\%.

Passo 7

Checagem energética rápida (sanidade dos números).
  • Potência dissipada no resistor interno r:
P_{r}=I^{2}r=(0{,}25)^{2}\times 16{,}0=0{,}0625\times 16=1{,}0\\ \mathrm{W}.
  • Potência armazenada quimicamente:
P_{\text{química}}=\mathcal{E}\,I=6{,}0\times 0{,}25=1{,}5\\ \mathrm{W}.í
  • Potência total fornecida aos terminais:
P_{\text{fornecida}}=V_{\text{term}}\,I=10{,}0\times 0{,}25=2{,}5\\ \mathrm{W}.
  • Verificação: P_{\text{fornecida}}=P_{r}+P_{\text{química}}=1{,}0+1{,}5=2{,}5\\ \mathrm{W}í. Tudo consistente. A eficiência calculada 1{,}5/2{,}5=0{,}6 confirma os cálculos anteriores.

Resposta

(A) 2{,}5\\ \mathrm{W}
(B) 16{,}0\\ \Omega
(C) 60\%

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