Qual é a energia mínima requerida para acelerar do repouso uma nave espacial até a velocidade de 0,8 c, se a massa útil de repouso deve ser 5 toneladas? Resposta 3 times 10^20 J. Em que processo de obtenção de energia seria possível esta energia mínima? Uma bomba de um megaton libera a mesma energia que um milhão de toneladas de TNT, sendo que, uma tonelada de TNT libera 4, 184 times 10^9 J de energia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a energia mínima necessária para acelerar uma nave espacial do repouso até 0,8 vezes a velocidade da luz ( 0,8c). A massa da nave é de 5 toneladas. Para resolver isso, vamos usar a teoria da relatividade especial, que nos ajuda a calcular a energia necessária quando estamos lidando com velocidades próximas à da luz. Precisaremos das fórmulas da energia cinética relativística.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a energia total de um objeto em movimento é dada por:
E = gamma m c^2
Onde:
  • E é a energia total,
  • gamma é o fator de Lorentz,
  • m é a massa de repouso,
  • c é a velocidade da luz.
O fator de Lorentz ( gamma) é calculado por:
gamma = 1raiz1 - (vc)^2
Aqui, v é a velocidade da nave, que é 0,8c.

Passo 3

Vamos calcular o fator de Lorentz ( gamma) primeiro:
gamma = 1raiz1 - (0,8)^2 = 1raiz1 - 0,64 = 1raiz0,36 = 10,6 approx 1,6667

Passo 4

Agora, calculamos a energia total ( E) usando a fórmula mencionada:
E = gamma m c^2 = 1,6667 times 5 times 10^3 , kg times (3 times 10^8 , m/s)^2
Note que converti 5 toneladas para 5 × 10³ kg.

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule c^2:
c^2 = (3 times 10^8 , m/s)^2 = 9 times 10^16 , m^2/s^2
Agora, multiplique por m:
m c^2 = 5 times 10^3 , kg times 9 times 10^16 , m^2/s^2 = 4,5 times 10^20 , J

Passo 6

Finalmente, multiplicamos por gamma para encontrar a energia total:
E = 1,6667 times 4,5 times 10^20 , J approx 7,5 times 10^20 , J
No entanto, a energia mínima necessária para apenas acelerar (energia cinética) é Ek = (gamma - 1) m c^2.

Passo 7

Vamos calcular a energia cinética:
Ek = (gamma - 1) m c^2 = (1,6667 - 1) times 4,5 times 10^20 , J = 0,6667 times 4,5 times 10^20 , J approx 3 times 10^20 , J

Passo 8

Quanto ao processo de obtenção dessa energia, é importante notar que uma bomba de um megaton libera cerca de 4,184 times 10^15 , J. Para alcançar a energia de 3 times 10^20 , J, seriam necessárias aproximadamente 7,17 × 10⁴⁴ bombas de um megaton, o que é completamente inviável com a tecnologia atual.

Passo 9

Considerando que uma tonelada de TNT libera 4,184 times 10^9 , J, para atingir 3 times 10^20 , J, precisaríamos de cerca de 7,17 times 10^10 toneladas de TNT, o que também é impraticável.
Portanto, a obtenção dessa quantidade de energia requer métodos muito mais avançados e eficientes do que os processos explosivos convencionais.

Resposta

A energia mínima requerida para acelerar a nave espacial até 0,8c é aproximadamente 3 times 10^20 , J.

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