Usando a segunda lei de Newton, calcule uma expressão relativística para a velocidade de uma partícula de carga elétrica
movimentando em um círculo de raio
perpendicular a um campo magnético
.
Passo 1
Hoje vamos resolver um exercício que envolve a segunda lei de Newton na física relativística. A questão pede para encontrar uma expressão para a velocidade de uma partícula com carga elétrica $ q $ que está se movimentando em um círculo de raio $ r $, perpendicular a um campo magnético $ \vec{B} $. Para resolver isso, vamos precisar entender como a força magnética e a segunda lei de Newton se aplicam no contexto da relatividade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante $ \vec{F} $ sobre uma partícula é igual à massa $ m $ da partícula multiplicada pela sua aceleração $ \vec{a} $:
No movimento circular, a aceleração é a aceleração centrípeta, que mantém a partícula em sua trajetória circular.
Passo 3
A aceleração centrípeta $ a_c $ é dada por:
onde $ v $ é a velocidade da partícula e $ r $ é o raio da trajetória circular.
Passo 4
Nesse contexto, a força que mantém a partícula em movimento circular é a força magnética. A força magnética $ F_B $ sobre uma partícula carregada em movimento é dada por:
Como o movimento é perpendicular ao campo magnético, $ \theta = 90^\circ $ e $ \sin(90^\circ) = 1 $, então:
Passo 5
Aplicando a segunda lei de Newton, igualamos a força magnética à força centrípeta:
Aqui, $ m $ é a massa relativística da partícula, que é diferente da massa de repouso $ m_0 $ e está relacionada com a velocidade.
Passo 6
Na relatividade, a massa total $ m $ é relacionada à massa de repouso $ m_0 $ e à velocidade $ v $ pela fórmula:
onde $ c $ é a velocidade da luz.
Passo 7
Substituindo a expressão da massa relativística na equação da segunda lei:
Passo 8
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ v $:
Passo 9
Agora, isolamos $ \frac{v}{\sqrt{1 - \frac{v2}{c2}}} $:
Passo 10
Vamos chamar $ \frac{q r B}{m_0} $ de $ \beta $ para simplificar:
Passo 11
Para resolver para $ v $, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Passo 12
Multiplicando ambos os lados por $ 1 - \frac{v2}{c2} $:
Passo 13
Distribuindo $ \beta^2 $:
Passo 14
Rearranjando os termos para isolar $ v^2 $:
Passo 15
Resolvendo para $ v^2 $:
Passo 16
Substituindo de volta $ \beta = \frac{q r B}{m_0} $:
Passo 17
Simplificando a expressão:
Resposta
A velocidade relativística da partícula é dada por: