Usando a segunda lei de Newton, calcule uma expressão relativística para a velocidade de uma partícula de carga elétrica q movimentando em um círculo de raio r perpendicular a um campo magnético B.
u=q B R / m0raiz1+(q B R / m0 c)^2

Passo 1

Hoje vamos resolver um exercício que envolve a segunda lei de Newton na física relativística. A questão pede para encontrar uma expressão para a velocidade de uma partícula com carga elétrica $ q $ que está se movimentando em um círculo de raio $ r $, perpendicular a um campo magnético $ \vec{B} $. Para resolver isso, vamos precisar entender como a força magnética e a segunda lei de Newton se aplicam no contexto da relatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante $ \vec{F} $ sobre uma partícula é igual à massa $ m $ da partícula multiplicada pela sua aceleração $ \vec{a} $:
F
No movimento circular, a aceleração é a aceleração centrípeta, que mantém a partícula em sua trajetória circular.

Passo 3

A aceleração centrípeta $ a_c $ é dada por:
ac
onde $ v $ é a velocidade da partícula e $ r $ é o raio da trajetória circular.

Passo 4

Nesse contexto, a força que mantém a partícula em movimento circular é a força magnética. A força magnética $ F_B $ sobre uma partícula carregada em movimento é dada por:
FB
Como o movimento é perpendicular ao campo magnético, $ \theta = 90^\circ $ e $ \sin(90^\circ) = 1 $, então:
FB = q v B sin(theta)

Passo 5

Aplicando a segunda lei de Newton, igualamos a força magnética à força centrípeta:
m v^2r = q v B
Aqui, $ m $ é a massa relativística da partícula, que é diferente da massa de repouso $ m_0 $ e está relacionada com a velocidade.

Passo 6

Na relatividade, a massa total $ m $ é relacionada à massa de repouso $ m_0 $ e à velocidade $ v $ pela fórmula:
m
onde $ c $ é a velocidade da luz.

Passo 7

Substituindo a expressão da massa relativística na equação da segunda lei:
m0raiz1 - v^2c^2 cdot v^2r = q v B

Passo 8

Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ v $:
v

Passo 9

Agora, isolamos $ \frac{v}{\sqrt{1 - \frac{v2}{c2}}} $:
vraiz1 - v^2c^2

Passo 10

Vamos chamar $ \frac{q r B}{m_0} $ de $ \beta $ para simplificar:
q r Bm0

Passo 11

Para resolver para $ v $, elevamos ambos os lados ao quadrado:
v

Passo 12

Multiplicando ambos os lados por $ 1 - \frac{v2}{c2} $:
1 - v^2c^2

Passo 13

Distribuindo $ \beta^2 $:
beta^2

Passo 14

Rearranjando os termos para isolar $ v^2 $:
v^2
v^2 + beta^2 v^2c^2 = beta^2

Passo 15

Resolvendo para $ v^2 $:
v^2

Passo 16

Substituindo de volta $ \beta = \frac{q r B}{m_0} $:
beta = q r Bm0

Passo 17

Simplificando a expressão:
v = q r Bm0raiz1 + (q r Bm0 c)^2

Resposta

A velocidade relativística da partícula é dada por:
v = q B rm0raiz1+(q B rm0 c)^2

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