Considere um oscilador harmônico unidimensional com energia E. Mostre que o número de microestados acessíveis será
\Omega(E, L)=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \frac{\delta E}{h} .

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador harmônico unidimensional com massa m e constante elástica k, cuja energia clássica é
H(x,p)=\frac{p^2}{2m}+\frac12\,k\,x^2.
Queremos calcular o número de microestados acessíveis na faixa de energia entre E e E+\delta E. Em mecânica estatística clássica, esse número é dado pelo volume de fase entre essas energias dividido pelo tamanho do “célula quântica” h.

Passo 2

Definimos o volume de fase acessível até energia E como
\Gamma(E)=\iint_{H(x,p)\le E}dx\,dp.
O número de microestados na casca [E,E+\delta E] é
\Omega(E,L)=\frac{\Gamma(E+\delta E)-\Gamma(E)}{h}.

Passo 3

Para H(x,p)\le E, a região no plano (x,p) é uma elipse:
\frac{x^2}{(2E/k)}+\frac{p^2}{(2mE)}\le1.
Os semi-eixos são
a_x=\sqrt{\frac{2E}{k}}, \quad a_p=\sqrt{2mE}.
Logo o volume de fase é a área dessa elipse:
\Gamma(E) =\pi\,a_x\,a_p =\pi\sqrt{\frac{2E}{k}}\;\sqrt{2mE} =2\pi\,E\,\sqrt{\frac{m}{k}}.

Passo 4

Para \delta E\ll E, a área da casca é aproximada por
\Gamma(E+\delta E)-\Gamma(E)\approx\frac{d\Gamma}{dE}\,\delta E.
Como
\Gamma(E)=2\pi\,E\,\sqrt{\frac{m}{k}},
temos
\frac{d\Gamma}{dE} =2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
Portanto
\Gamma(E+\delta E)-\Gamma(E)\approx2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\,\delta E.

Passo 5

Finalmente, dividindo pela “célula quântica” h, obtemos o número de microestados:
\Omega(E,L) =\frac{\Gamma(E+\delta E)-\Gamma(E)}{h} =2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\;\frac{\delta E}{h}.

Resposta

\Omega(E,L)=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\;\frac{\delta E}{h}.

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