A energia potencial associada a uma determinada força conservativa atuante em uma partícula é dada pela expressão
, com
em metros. a) Determine a força que atua nesta. b) Para que valores de
a energia potencial é nula?
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial em função da posição:
com
em metros. São pedidas duas coisas:
- Determinar a força que atua na partícula (isto é, a expressão de
). - Determinar para que valores de
a energia potencial é nula (ou seja, resolver ).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática). Em uma dimensão, para uma força conservativa existe uma energia potencial
relacionada à força por
Aqui:
-
é a derivada de em relação a , que mede como muda quando muda (pendendo para aumentar ou diminuir). - O sinal negativo indica que a força age no sentido de diminuir a energia potencial: se
aumenta com , a força aponta para diminuir , e vice-versa.
Unidades: seestá em joules e em metros, então terá unidades de newtons.
Vou ensinar rapidamente como calcular
para um polinômio: a regra do poder (power rule) diz que
Para um termo
, a derivada é
. Para uma soma/subtração, derivamos termo a termo.
Passo 3
Calculemos a derivada de
termo a termo usando a regra do poder.
Derivando :
Derivando
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é (constante).
Portanto,
Passo 4
Aplicando a relação
, obtemos
Podemos também escrever de forma fatorada:
Isso é a expressão da força em função de
. Lembre que a unidade é newton se
estava em joules.
Passo 5
Agora a parte (b): queremos os valores de
tais que
. Ou seja, resolver a equação
Uma forma prática é dividir toda a equação por
para simplificar:
Tentamos fatorar: procurar fatores que multiplicados dêem
e que somados dêem
. Observando, a fatoração é
Verificação rápida:
. Logo as raízes são dadas por cada fator zero:
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: substituindo de volta,
e
. Está correto.