A energia potencial associada a uma determinada força conservativa atuante em uma partícula é dada pela expressão U(x)=4 x^{2}+2 x-2, com x em metros. a) Determine a força que atua nesta. b) Para que valores de x a energia potencial é nula?

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial em função da posição:
U(x)=4x^{2}+2x-2,
com x em metros. São pedidas duas coisas:
  1. Determinar a força que atua na partícula (isto é, a expressão de F(x)).
  2. Determinar para que valores de x a energia potencial é nula (ou seja, resolver U(x)=0).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática). Em uma dimensão, para uma força conservativa existe uma energia potencial U(x) relacionada à força por
F(x)=-\frac{dU}{dx}.
Aqui:
  • \frac{dU}{dx} é a derivada de U em relação a x, que mede como U muda quando x muda (pendendo para aumentar ou diminuir).
  • O sinal negativo indica que a força age no sentido de diminuir a energia potencial: se U aumenta com x, a força aponta para diminuir x, e vice-versa.
    Unidades: se U está em joules e x em metros, então F terá unidades de newtons.
Vou ensinar rapidamente como calcular \frac{dU}{dx} para um polinômio: a regra do poder (power rule) diz que
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Para um termo a x^{n}, a derivada é a n x^{n-1}. Para uma soma/subtração, derivamos termo a termo.

Passo 3

Calculemos a derivada de U(x) termo a termo usando a regra do poder.
Derivando \;U(x)=4x^{2}+2x-2\;:
  • Derivada de 4x^{2} é 4\cdot 2 x^{1}=8x.
  • Derivada de 2x é 2.
  • Derivada de -2 é 0 (constante).
    Portanto,
\frac{dU}{dx}=8x+2.

Passo 4

Aplicando a relação F(x)=-\dfrac{dU}{dx}, obtemos
F(x) = -(8x+2) = -8x-2.
Podemos também escrever de forma fatorada:
F(x)=-2(4x+1).
Isso é a expressão da força em função de x. Lembre que a unidade é newton se U estava em joules.

Passo 5

Agora a parte (b): queremos os valores de x tais que U(x)=0. Ou seja, resolver a equação
4x^{2}+2x-2=0.
Uma forma prática é dividir toda a equação por 2 para simplificar:
2x^{2}+x-1=0.
Tentamos fatorar: procurar fatores que multiplicados dêem 2\cdot(-1)=-2 e que somados dêem 1. Observando, a fatoração é
2x^{2}+x-1=(2x-1)(x+1).
Verificação rápida: (2x-1)(x+1)=2x^{2}+2x-x-1=2x^{2}+x-1. Logo as raízes são dadas por cada fator zero:
  • 2x-1=0 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}.
  • x+1=0 \Rightarrow x=-1.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: substituindo de volta, \;U\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=4\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+2\left(\tfrac{1}{2}\right)-2=4\cdot\tfrac{1}{4}+1-2=1+1-2=0 e \;U(-1)=4\cdot1-2-2=0. Está correto.

Resposta

F(x)=-8x-2 \
x=\dfrac{1}{2}\\ \text{m} e x=-1\\ \text{m}

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