Para cada x, o parâmetro interno y varia de 0 até \operatorname{sen} x (ou seja, até \sin x).
A função integranda é y.
Portanto precisamos (1) visualizar a região do plano (x,y) determinada por essas desigualdades e (2) calcular o valor numérico da integral dupla.
Passo 2
Esboço e descrição da região de integração (passo a passo, como desenhar na prova):
As curvas que limitam a região são y=0 (eixo x), y=\sin x e as retas verticais x=0 e x=\pi.
Em x=0 temos \sin 0=0; em x=\pi temos \sin\pi=0; o máximo de \sin x em [0,\pi] é 1 em x=\tfrac{\pi}{2}.
ou seja, a região do plano acima do eixo x e abaixo da curva y=\sin x entre x=0 e x=\pi.
Para esboçar: desenhe o eixo x de 0 a \pi, faça a curva suave de \sin x com pico em (\tfrac{\pi}{2},1) e sombreie a região entre essa curva e o eixo x. (Isso é suficiente na prova para “esboçar a região”.)
Passo 3
Integração interna em y (explicando a técnica):
A integral interna é \displaystyle\int_{0}^{\sin x} y\,dy.
Lembrete: uma antiderivada de y é \tfrac{y^{2}}{2}, porque derivando \tfrac{y^{2}}{2} obtemos y.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{4} que ficou fora, obtemos o valor da integral original:
\frac{1}{4}\cdot \pi = \frac{\pi}{4}.
Passo 6
Comentário opcional (confirmação mudando a ordem de integração — como pensar na prova):
Se quisermos trocar a ordem, note que para um dado y\in[0,1] a equação \sin x = y em [0,\pi] tem soluções x=\arcsin y e x=\pi-\arcsin y. Assim a região também se escreve
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; \arcsin y \le x \le \pi-\arcsin y\}.
o que leva a \int_{0}^{1} y(\pi-2\arcsin y)\,dy. Esse cálculo dá o mesmo resultado \tfrac{\pi}{4} (a verificação completa exige integrar por partes), e serve para checar compreensão dos limites.