Esboçar a região de integração e calcular a integral iterada seguinte:
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\operatorname{sen} x} y d y d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral iterada
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\operatorname{sen} x} y\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • O parâmetro externo x varia de 0 a \pi.
  • Para cada x, o parâmetro interno y varia de 0 até \operatorname{sen} x (ou seja, até \sin x).
  • A função integranda é y.
    Portanto precisamos (1) visualizar a região do plano (x,y) determinada por essas desigualdades e (2) calcular o valor numérico da integral dupla.

Passo 2

Esboço e descrição da região de integração (passo a passo, como desenhar na prova):
  • As curvas que limitam a região são y=0 (eixo x), y=\sin x e as retas verticais x=0 e x=\pi.
  • Em x=0 temos \sin 0=0; em x=\pi temos \sin\pi=0; o máximo de \sin x em [0,\pi] é 1 em x=\tfrac{\pi}{2}.
  • Então a região R é o conjunto
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le \pi,\; 0\le y\le \sin x\},
ou seja, a região do plano acima do eixo x e abaixo da curva y=\sin x entre x=0 e x=\pi.
Para esboçar: desenhe o eixo x de 0 a \pi, faça a curva suave de \sin x com pico em (\tfrac{\pi}{2},1) e sombreie a região entre essa curva e o eixo x. (Isso é suficiente na prova para “esboçar a região”.)

Passo 3

Integração interna em y (explicando a técnica):
  • A integral interna é \displaystyle\int_{0}^{\sin x} y\,dy.
  • Lembrete: uma antiderivada de y é \tfrac{y^{2}}{2}, porque derivando \tfrac{y^{2}}{2} obtemos y.
  • Avaliando nos limites 0 e \sin x obtemos
\int_{0}^{\sin x} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{\sin x} = \frac{(\sin x)^{2}}{2} - 0 = \frac{1}{2}\sin^{2}x.
Portanto a integral dupla reduz-se à integral única
\int_{0}^{\pi}\left(\frac{1}{2}\sin^{2}x\right)dx.

Passo 4

Como integrar \sin^{2}x (fórmula e motivo):
  • Usamos a identidade de ângulo duplo que relaciona \sin^{2}x e \cos 2x. A identidade é
\sin^{2}x = \frac{1-\cos 2x}{2},
porque \cos 2x = 1-2\sin^{2}x e isolando \sin^{2}x vem a expressão acima.
  • Substituindo na integral obtemos
\int_{0}^{\pi}\frac{1}{2}\sin^{2}x\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx = \frac{1}{4}\int_{0}^{\pi}(1-\cos 2x)\,dx.

Passo 5

Calcular a integral final (passo a passo das primitivas e avaliação):
  • Integramos termo a termo: uma primitiva de 1 é x. Uma primitiva de \cos 2x é \tfrac{1}{2}\sin 2x, pois derivando \tfrac{1}{2}\sin 2x obtemos \cos 2x.
  • Assim
\int_{0}^{\pi}(1-\cos 2x)\,dx = \left[x-\frac{1}{2}\sin 2x\right]_{0}^{\pi}.
  • Avaliando nos extremos: em x=\pi temos x=\pi e \sin 2\pi=0; em x=0 temos x=0 e \sin 0=0. Logo
\left[x-\frac{1}{2}\sin 2x\right]_{0}^{\pi} = \pi - 0 = \pi.
  • Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{4} que ficou fora, obtemos o valor da integral original:
\frac{1}{4}\cdot \pi = \frac{\pi}{4}.

Passo 6

Comentário opcional (confirmação mudando a ordem de integração — como pensar na prova):
  • Se quisermos trocar a ordem, note que para um dado y\in[0,1] a equação \sin x = y em [0,\pi] tem soluções x=\arcsin y e x=\pi-\arcsin y. Assim a região também se escreve
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; \arcsin y \le x \le \pi-\arcsin y\}.
  • A integral trocada seria
\int_{0}^{1}\int_{\arcsin y}^{\pi-\arcsin y} y\,dx\,dy,
o que leva a \int_{0}^{1} y(\pi-2\arcsin y)\,dy. Esse cálculo dá o mesmo resultado \tfrac{\pi}{4} (a verificação completa exige integrar por partes), e serve para checar compreensão dos limites.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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