Esboçar a região de integração e calcular a integral iterada seguinte:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração no plano
e calcular a integral iterada
Informações dadas:
e, para cada
nesse intervalo,
Portanto a integral é feita primeiro em
(de
até
) e depois em
(de
até
).
Passo 2
Esboço da região (como desenhar passo a passo):
- Trace a reta
. Ela tem intercepto em igual a (ponto ) e intercepto em quando , isto é (ponto ). No extremo direito a reta passa pelo ponto porque . - Trace a reta
(eixo ). - A variável
varia de a , então só nos interessam os pontos entre e . - Para cada
nessa faixa, vai de até . Isso descreve a região triangular com vértices em , e .
Portanto a região é um triângulo delimitado abaixo por, acima por e lateralmente por e . (Desenhe os pontos indicados e una: fica claro o triângulo.)
Passo 3
Começando a calcular a integral: primeiro integramos em
.
Observe que dentro da integral interna a função é , que não depende de
. Regra básica: se uma função é constante em relação à variável de integração, pode-se fatorá‑la ou usar que
Observe que dentro da integral interna a função é
onde
é constante em
. Aplicando aqui,
Também podemos ver isso como a primitiva em
:
, e avaliando de
a
dá
, mesmo resultado.
Passo 4
Simplifique a expressão obtida:
Agora integramos em
de
até
:
Regra para polinômios:
. Assim a primitiva de
é
Avaliando entre
e
:
calcule em :
calcule em
calcule em
:
Agora subtraímos o valor em
do valor em
:
Colocando em denominador comum
:
Simplificando
dividindo numerador e denominador por
:
Portanto a integral vale
.
Passo 5
Checagem rápida (opcional, mas bom para aprender a trocar a ordem de integração):
Descrever a região em forma externo:
varia de
até
(porque o maior
na região é
em
). Para um
fixo em
,
varia de
(resolvendo
) até
. Assim a integral trocada seria
Descrever a região em forma
Fazendo a integral interna
.
Integrando em :
Integrando em
confirmando o mesmo resultado. Excelente — consistência é sinal de que está tudo certo! Força aí, você já dominou esse tipo de integral.