Esboçar a região de integração e calcular a integral iterada seguinte:
\int_{-1}^{2} \int_{0}^{x+1} x^{2} d y d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração no plano xy e calcular a integral iterada
\int_{-1}^{2} \int_{0}^{x+1} x^{2}\,dy\,dx.
Informações dadas:
-1 \le x \le 2
e, para cada x nesse intervalo,
0 \le y \le x+1.
Portanto a integral é feita primeiro em y (de 0 até x+1) e depois em x (de -1 até 2).

Passo 2

Esboço da região (como desenhar passo a passo):
  1. Trace a reta y=x+1. Ela tem intercepto em y igual a 1 (ponto (0,1)) e intercepto em x quando y=0, isto é x=-1 (ponto (-1,0)). No extremo direito x=2 a reta passa pelo ponto (2,3) porque 2+1=3.
  2. Trace a reta y=0 (eixo x).
  3. A variável x varia de -1 a 2, então só nos interessam os pontos entre x=-1 e x=2.
  4. Para cada x nessa faixa, y vai de 0 até x+1. Isso descreve a região triangular com vértices em (-1,0), (2,0) e (2,3).
    Portanto a região é um triângulo delimitado abaixo por y=0, acima por y=x+1 e lateralmente por x=-1 e x=2. (Desenhe os pontos indicados e una: fica claro o triângulo.)

Passo 3

Começando a calcular a integral: primeiro integramos em y.
Observe que dentro da integral interna a função é x^{2}, que não depende de y. Regra básica: se uma função é constante em relação à variável de integração, pode-se fatorá‑la ou usar que
\int_{a}^{b} c\,dy = c(b-a),
onde c é constante em y. Aplicando aqui,
\int_{0}^{x+1} x^{2}\,dy = x^{2}\int_{0}^{x+1} 1\,dy = x^{2}\bigl[(y)\bigr]_{0}^{x+1} = x^{2}(x+1).
Também podemos ver isso como a primitiva em y: \int x^{2}\,dy = x^{2}y, e avaliando de y=0 a y=x+1 x^{2}(x+1)-x^{2}\cdot 0, mesmo resultado.

Passo 4

Simplifique a expressão obtida:
x^{2}(x+1)=x^{3}+x^{2}.
Agora integramos em x de -1 até 2:
\int_{-1}^{2} (x^{3}+x^{2})\,dx.
Regra para polinômios: \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C. Assim a primitiva de x^{3}+x^{2} é
\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}.
Avaliando entre -1 e 2:
calcule em x=2:
\frac{2^{4}}{4}+\frac{2^{3}}{3}=\frac{16}{4}+\frac{8}{3}=4+\frac{8}{3}=\frac{12+8}{3}=\frac{20}{3}.
calcule em x=-1:
\frac{(-1)^{4}}{4}+\frac{(-1)^{3}}{3}=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}=\frac{3-4}{12}=-\frac{1}{12}.
Agora subtraímos o valor em -1 do valor em 2:
\frac{20}{3}-\Bigl(-\frac{1}{12}\Bigr)=\frac{20}{3}+\frac{1}{12}.
Colocando em denominador comum 12:
\frac{20}{3}=\frac{80}{12},\qquad \frac{80}{12}+\frac{1}{12}=\frac{81}{12}.
Simplificando \dfrac{81}{12} dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{81}{12}=\frac{27}{4}.
Portanto a integral vale \dfrac{27}{4}.

Passo 5

Checagem rápida (opcional, mas bom para aprender a trocar a ordem de integração):
Descrever a região em forma dy externo: y varia de 0 até 3 (porque o maior y na região é 3 em (2,3)). Para um y fixo em [0,3], x varia de x=y-1 (resolvendo y\le x+1) até x=2. Assim a integral trocada seria
\int_{0}^{3}\int_{y-1}^{2} x^{2}\,dx\,dy.
Fazendo a integral interna \int_{y-1}^{2} x^{2}\,dx = \bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\bigr]_{y-1}^{2} = \tfrac{8}{3}-\tfrac{(y-1)^{3}}{3}.
Integrando em y:
\int_{0}^{3}\left(\frac{8}{3}-\frac{(y-1)^{3}}{3}\right)dy =\frac{8}{3}\cdot 3 - \frac{1}{3}\cdot\left[\frac{(y-1)^{4}}{4}\right]_{0}^{3} =8 - \frac{1}{3}\cdot\frac{15}{4}=8-\frac{15}{12}=8-\frac{5}{4}=\frac{27}{4},
confirmando o mesmo resultado. Excelente — consistência é sinal de que está tudo certo! Força aí, você já dominou esse tipo de integral.

Resposta

\dfrac{27}{4}

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