Esboçar a região de integração e calcular a integral iterada seguinte:
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
e pede duas coisas: (1) esboçar (descrever) a região de integração e (2) calcular o valor da integral. Informações relevantes fornecidas: o integrando é
, a variável interna é
com
variando de
até
, e a variável externa é
variando de
até
.
Passo 2
Descrevendo geometricamente a região
descrita pelos limites: para cada
em
temos
entre as retas
e
. Logo
Os pontos extremos aparecem em
(dá
) e em
(dá
entre
e
). Portanto a região é um triângulo com vértices
,
e
. (Isto é o esboço: uma “fatia” entre as retas
e
, cortada pela reta vertical
.)
Passo 3
É útil também ver como ficarão os limites se invertermos a ordem de integração (só para treinar). Das desigualdades
obtemos
. O valor de
na região varia de
até
. Mas para
o limite superior
é menor que
, enquanto para
o limite superior é a reta vertical
. Assim a escrita em ordem
fica em duas parcelas:
Não precisamos calcular por essa via, é só para entender a região.
Passo 4
Agora calculamos a integral dada diretamente. Primeiro integramos em
mantendo
fixo. A primitiva em
de
é
pois a integral de
em
é
(tratando
como constante) e a integral de
é
.
Passo 5
Aplicando os limites
e
na primitiva:
Calculando cada termo: para
temos
e
, soma
. Para
temos
e
, soma
. A diferença é
Passo 6
Agora resta integrar em
de
a
:
Pronto — esse é o valor da integral.
Resposta
Região de integração:
, triângulo com vértices
,
,
.
Valor da integral: .
Valor da integral: