Esboçar a região de integração e calcular a integral iterada seguinte:
\int_{0}^{1} \int_{x}^{2 x}(2 x+4 y) d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{x}^{2x} (2x+4y)\,dy\,dx
e pede duas coisas: (1) esboçar (descrever) a região de integração e (2) calcular o valor da integral. Informações relevantes fornecidas: o integrando é (2x+4y), a variável interna é y com y variando de y=x até y=2x, e a variável externa é x variando de x=0 até x=1.

Passo 2

Descrevendo geometricamente a região R descrita pelos limites: para cada x em [0,1] temos y entre as retas y=x e y=2x. Logo
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\; x\le y\le 2x\}.
Os pontos extremos aparecem em x=0 (dá y=0) e em x=1 (dá y entre 1 e 2). Portanto a região é um triângulo com vértices (0,0), (1,1) e (1,2). (Isto é o esboço: uma “fatia” entre as retas y=x e y=2x, cortada pela reta vertical x=1.)

Passo 3

É útil também ver como ficarão os limites se invertermos a ordem de integração (só para treinar). Das desigualdades x\le y\le 2x obtemos y/2\le x\le y. O valor de y na região varia de 0 até 2. Mas para 0\le y\le1 o limite superior x\le y é menor que 1, enquanto para 1\le y\le2 o limite superior é a reta vertical x=1. Assim a escrita em ordem dx\,dy fica em duas parcelas:
\int_{0}^{1}\int_{x}^{2x}(\cdots)\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\int_{y/2}^{y}(\cdots)\,dx\,dy + \int_{1}^{2}\int_{y/2}^{1}(\cdots)\,dx\,dy.
Não precisamos calcular por essa via, é só para entender a região.

Passo 4

Agora calculamos a integral dada diretamente. Primeiro integramos em y mantendo x fixo. A primitiva em y de 2x+4y é
\int (2x+4y)\,dy = 2x\,y + 2y^{2},
pois a integral de 2x em y é 2x\cdot y (tratando x como constante) e a integral de 4y é 4\cdot \tfrac{y^{2}}{2}=2y^{2}.

Passo 5

Aplicando os limites y=x e y=2x na primitiva:
\Bigl[2x\,y+2y^{2}\Bigr]_{y=x}^{y=2x} = \bigl(2x\cdot(2x)+2(2x)^{2}\bigr) - \bigl(2x\cdot x+2x^{2}\bigr).
Calculando cada termo: para y=2x temos 2x\cdot 2x = 4x^{2} e 2(2x)^{2}=2\cdot 4x^{2}=8x^{2}, soma 12x^{2}. Para y=x temos 2x\cdot x=2x^{2} e 2x^{2}, soma 4x^{2}. A diferença é
12x^{2}-4x^{2}=8x^{2}.

Passo 6

Agora resta integrar em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1} 8x^{2}\,dx = 8\int_{0}^{1} x^{2}\,dx =8\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =8\cdot\frac{1}{3}=\frac{8}{3}.
Pronto — esse é o valor da integral.

Resposta

Região de integração: \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\; x\le y\le 2x\}, triângulo com vértices (0,0), (1,1), (1,2).
Valor da integral: \displaystyle \frac{8}{3}.

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