A energia potencial associada ao movimento de um corpo de massa é dada por . Se no ponto sua velocidade é , no ponto sua velocidade é zero, e no ponto sua velocidade é , descubra os valores de a e b em função de m, e . (Dica: cada ponto equivale a uma equação, uma delas para a energia total, use as outras para resolver o sistema e encontrar a e b)
Passo 1
Tranquilo! A ideia é usar conservação da energia mecânica na reta. O enunciado diz que a energia potencial é
e que:
- em , a velocidade é ;
- em , a velocidade cai a zero;
- em , a velocidade sobe para .
Conteúdo: Energia mecânica (cinética + potencial) e conservação de energia.
O que vamos precisar:
Definir a energia total no ponto inicial.
Escrever em cada ponto usando e .
Resolver o sistema que aparece para achar e .
Passo 2
Primeiro, em temos:
e a energia cinética é .
Como energia mecânica se conserva, a energia total é
Passo 3
No ponto x=x0, a velocidade vira zero, então K(x0)=0 e
U(x0)=a,x0^2 + b,x0,
Conservação manda U(x0)=E, ou seja a,x0^2 + b,x0 ;=;tfrac12m v0^2, tag2
Passo 4
Em x=2x0, a velocidade é 2v0, logo
K(2x0)=tfrac12m(2v0)^2=2m v0^2
e U(2x0)=a,(2x0)^2 + b,(2x0)=4a,x0^2 +2b,x0,
Novamente K+U=E, então
2m v0^2 ;+;(4a,x0^2 +2b,x0);=;tfrac12m v0^2, tag3
Passo 5
Agora resolvemos o sistema das equações (2) e (3).
Da (2):