A energia potencial associada ao movimento de um corpo de massa m é dada por U(x)=a x^2+b x. Se no ponto x=0 sua velocidade é v0, no ponto x=x0 sua velocidade é zero, e no ponto x=2 x0 sua velocidade é 2 v0, descubra os valores de a e b em função de m, v0 e x0. (Dica: cada ponto equivale a uma equação, uma delas para a energia total, use as outras para resolver o sistema e encontrar a e b)

Passo 1

Tranquilo! A ideia é usar conservação da energia mecânica na reta. O enunciado diz que a energia potencial é
U(x)=a,x^2 + b,x
e que:
- em x=0, a velocidade é v0;
- em x=x0, a velocidade cai a zero;
- em x=2x0, a velocidade sobe para 2v0.
Conteúdo: Energia mecânica (cinética + potencial) e conservação de energia.
O que vamos precisar:
  1. Definir a energia total E no ponto inicial.
  2. Escrever E em cada ponto usando K=tfrac12 m v^2 e U(x).
  3. Resolver o sistema que aparece para achar a e b.

Passo 2

Primeiro, em x=0 temos:
U(0)=acdot0^2 + bcdot0 = 0
e a energia cinética é K(0)=tfrac12m v0^2.
Como energia mecânica se conserva, a energia total é
E = K(0)+U(0)=tfrac12m v0^2, tag1

Passo 3

No ponto x=x0, a velocidade vira zero, então K(x0)=0 e
U(x0)=a,x0^2 + b,x0,
Conservação manda U(x0)=E, ou seja
a,x0^2 + b,x0 ;=;tfrac12m v0^2, tag2

Passo 4

Em x=2x0, a velocidade é 2v0, logo
K(2x0)=tfrac12m(2v0)^2=2m v0^2
e
U(2x0)=a,(2x0)^2 + b,(2x0)=4a,x0^2 +2b,x0,
Novamente K+U=E, então
2m v0^2 ;+;(4a,x0^2 +2b,x0);=;tfrac12m v0^2, tag3

Passo 5

Agora resolvemos o sistema das equações (2) e (3).
Da (2):
a,x0^2 + b,x0 = tfrac12m v0^2,
Da (3):
4a,x0^2 +2b,x0 = tfrac12m v0^2 -2m v0^2 = -tfrac32m v0^2,
Podemos isolar b na (2):
b = tfrac12m v0^2 - a,x0^2x0 = m v0^22x0 - a,x0
e substituir na segunda. Fazendo as contas dá:
$$a = -\frac{5}{4},\frac{m,v_02}{x_02},\qquad
b = \frac{7}{4},\frac{m,v_0^2}{x_0},. $$

Resposta

boxeda = -5m,v0^24,x0^2, b = 7m,v0^24,x0

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