A energia potencial associada ao movimento de um corpo de massa m é dada por U(x)=axZ+bx. Se no ponto x=0 sua velocidade é v0, no ponto x=x0 sua velocidade é zero, e no ponto x=2 x0 sua velocidade é 2 v0, descubra os valores de a e b em função de m , v0 e x0. (Dica: cada ponto equivale a uma equação, uma delas para a energia total, use as outras para resolver o sistema e encontrar a e b)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a energia potencial de um corpo de massa U(x)=a,x^2 + b,x é
Sabemos três situações:
  • Em , a velocidade é .
  • Em , a velocidade cai a zero.
  • Em , a velocidade sobe a .
Conteúdo: conservação de energia mecânica ( constante).
O que vamos precisar:
  1. Calcular a energia total em .
  2. Aplicar em e em .
  3. Resolver o sistema para e .

Passo 2

Primeiro, energia total em T(0)=tfrac12,m,v0^2, U(0)=acdot0^2 + bcdot0=0 :
E = T(0)+U(0) = tfrac12,m,v0^2
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Passo 3

Agora, em E = T(x0)+U(x0) = 0 + l(a,x0^2 + b,x0r) a velocidade é zero, então
a,x0^2 + b,x0 = tfrac12,m,v0^2
Como , obtemos a equação (1):

Passo 4

Em T(2x0)=tfrac12,m,(2v0)^2 = 2,m,v0^2, U(2x0)=a,(2x0)^2 + b,(2x0)=4a,x0^2 + 2b,x0 a velocidade é 2m,v0^2 + 4a,x0^2 + 2b,x0 = tfrac12,m,v0^2 , então
4a,x0^2 + 2b,x0 = -tfrac32,m,v0^2
E como 2a,x0^2 + b,x0 = -tfrac34,m,v0^2 , temos a equação (2):
Reescrevendo
Ou, dividindo por 2,

Passo 5

Agora resolvemos o sistema
(1) (2a - a)x0^2 + (b - b)x0 = -tfrac34m v0^2 - tfrac12m v0^2 ;Longrightarrow; a,x0^2 = -tfrac54,m,v0^2 ;Longrightarrow; a = -5,m,v0^24,x0^2
(2) -5m v0^24x0^2,x0^2 + b,x0 = tfrac12m v0^2 ;Longrightarrow; -tfrac54m v0^2 + b,x0 = tfrac12m v0^2 ;Longrightarrow; b,x0 = tfrac12m v0^2 + tfrac54m v0^2 = tfrac74m v0^2 ;Longrightarrow; b = 7,m,v0^24,x0 .
Subtraindo (2)−(1):
Plugando em (1):

Resposta

boxed% a = -5,m,v0^24,x0^2, b = 7,m,v0^24,x0

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