Uma partícula se move em linha reta sob ação do potencial conservativo U(x)=ax^4-bx^3 onde a e b são constantes positivas. Determine a força que age sobre ela e quais os pontos de equilíbrio estável e instável. Qual a energia mínima permitida para esta partícula? (Dica: Para encontrar a energia mínima lembre que a energia cinética não pode ser negativa, sendo assim a energia mínima será igual ao mínimo de potencial, además trata-se apenas de um problema de extremização de funções.)

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma partícula se mexendo numa reta, com potencial conservativo
U(x)=ax^4-bx^3,
onde e são constantes positivas. A matéria é mecânica clássica: fórmula de força a partir de potencial, pontos de equilíbrio (extremos de ) e estabilidade (segunda derivada), e energia mínima (o valor mínimo de , já que a cinética ≥ 0). Vamos precisar de cálculo de derivadas e de critério de extremização de funções.

Passo 2

Primeiro, a força F(x)=-dUdx é dada por
dUdx =ddxl(a x^-4-b x^-3r) =-4a,x^-5+3b,x^-4,
Calculando
F(x)=-l(-4a,x^-5+3b,x^-4r) =4a,x^-5-3b,x^-4
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Passo 3

Equilíbrio acontece quando 4a,x^-5-3b,x^-4=0 Longrightarrow 4a-3b,x=0 Longrightarrow x0=4a3b , ou seja
Esse é o único ponto onde a partícula pode ficar “parada” sem força resultante.

Passo 4

Para ver se é estável ou instável, usamos a segunda derivada de d^2Udx^2 =ddxl(-4a,x^-5+3b,x^-4r) =20a,x^-6-12b,x^-5 = x^-6l(20a-12b,xr) :
20a-12b,x0 =20a-12b4a3b =20a-16a=4a>0
No ponto temos
e , então . Isso significa mínimo de , ou seja ponto de equilíbrio estável. Não há nenhum outro ponto de equilíbrio, então não tem ponto instável.

Passo 5

A energia mínima da partícula é justamente o valor mínimo do potencial em U(x0) =al(x0r)^-4-bl(x0r)^-3 , porque energia cinética ≥ 0. Vamos calcular
x0^-3=l(tfrac3b4ar)^3 =27,b^364,a^3, x0^-4=l(tfrac3b4ar)^4 =81,b^4256,a^4
Como U(x0) =a81b^4256a^4 -b27b^364a^3 =81b^4256a^3-27b^464a^3 =-27,b^4256,a^3 , vem
Então

Resposta

Força:
F(x)=4a,x^-5-3b,x^-4
Ponto de equilíbrio:
x0=4a3b,
que é estável pois Emin=U(x0)=-27,b^4256,a^3 .
Energia mínima permitida:

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