Uma partícula de massa m se move em linha reta sob ação unicamente de uma força conservativa, com sua posição dada por x(t)=k 3 t 3, onde k é uma constante positiva. Determine uma função U(x) que descreva sua energia potencial. (Dica: use seus conhecimentos de cálculo para relacionar posição e aceleração, como a força que age é única, você pode encontrar a relação entre a força e aceleração pela segunda Lei de Newton.)

Passo 1

Beleza, o que a questão tá pedindo? Temos uma partícula de massa x(t) = k,t^3 que se move em linha reta só sob ação de uma força conservativa. A posição dela é dada por
(com ). Precisamos achar a energia potencial .
Conteúdo: mecânica clássica (Lei de Newton, força conservativa e energia potencial) e cálculo (derivadas e integrais). Vamos usar:
  1. Segunda Lei de Newton .
  2. Pra força conservativa vale .

Passo 2

Primeiro, calcula a aceleração. A posição é v(t) = dxdt = 3,k,t^2 .
  1. Velocidade:
a(t) = dvdt = 6,k,t
  1. Aceleração:

Passo 3

Pela Segunda Lei de Newton, a força é
F(t) = m,a(t) = 6,m,k,t
Mas a gente quer t = l(tfracxkr)^1/3 em função de F(x) = 6,m,k ,l(tfracxkr)^1/3 = 6,m,k^2/3,x^1/3 . Como , isolamos
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Passo 4

Numa força conservativa vale
F(x) = -dUdx
Então para achar U(x) = -integral F(x),dx + C = -integral 6,m,k^2/3,x^1/3,dx + C a gente integra:

Passo 5

Fazendo a integral:
integral x^1/3,dx = x^4/34/3 = tfrac34,x^4/3
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U(x) = -6,m,k^2/3,l(tfrac34 x^4/3r) + C = -184,m,k^2/3,x^4/3 + C = -92,m,k^2/3,x^4/3 + C

Resposta

boxed,U(x) = -92,m,k^2/3,x^4/3 + C,

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