Um pequeno carrinho de controle remoto de massa m é colocado para fazer um loop vertical em uma pista circular de raio R. Se sua velocidade na base da pista é v0, qual magnitude de trabalho mínima deve ser feita pelo motor do carrinho na subida para que ele consiga completar o loop? Para qual valor de v0 não seria necessária ação do motor na subida? Despreze perdas de energia por forças de atrito.

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: um carrinho de massa m vai fazer um loop vertical de raio R. Na base do loop ele tem velocidade . Queremos descobrir:
  1. Quanto trabalho mínimo o motor precisa fazer, na subida, pra ele não parar até o topo e completar o loop.
  2. Pra qual valor de esse trabalho do motor já não é mais necessário (ou seja, ele já chega “com gás” suficiente).
    Conteúdo: mecânica (energia e trabalho) e condição de contato no topo do loop.

Passo 2

Primeiro a teoria de contato no topo: pra carrinho não “cair” na pista, a força normal N + mg = m vrm topo^2R não pode ficar negativa. No ponto mais alto do loop temos
mg ;>=; m vrm topo^2R Longrightarrow vrm topo^2 ;<=; gR
Como vrm topo^2 = gR Longrightarrow vrm topo = raizgR , isso implica
Para garantir só o contato mínimo (normal zero), basta

Passo 3

Agora partimos da conservação de energia, incluindo o trabalho 12 m v0^2 + W ;=; 12 m vrm topo^2 ;+; mg,(2R) do motor na subida. Pegamos o ponto de partida (base) e o ponto de chegada (topo):
Energia inicial + Trabalho do motor = Energia final
12 m v0^2 + W = 12 m (gR) + 2mgR = 12 m gR + 2 m gR = 52,m gR
Aqui W = 52,m gR ;-;12 m v0^2 = m2,(5gR - v0^2) é o ganho de energia potencial ao subir dois raios. Substituindo :
Isolando :

Passo 4

Como trabalho mínimo não pode ser negativo (o motor não “puxa” pra trás), a fórmula acima vale somente se . Se , já sobra energia e não precisa de trabalho adicional do motor.

Resposta

Trabalho mínimo do motor na subida:
Wmin = m2,(5gR - v0^2), para v0^2<=5gR
E não é necessário trabalho do motor quando
v0;>=;raiz5gR,

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