Um pequeno carrinho de controle remoto de massa m é colocado para fazer um loop vertical em uma pista circular de raio R. Se sua velocidade na base da pista é
, qual magnitude de trabalho mínima deve ser feita pelo motor do carrinho na subida para que ele consiga completar o loop? Para qual valor de
não seria necessária ação do motor na subida? Despreze perdas de energia por forças de atrito.
Passo 1
Beleza, o problema é o seguinte: um carrinho de massa m vai fazer um loop vertical de raio R. Na base do loop ele tem velocidade
. Queremos descobrir:
- Quanto trabalho mínimo o motor precisa fazer, na subida, pra ele não parar até o topo e completar o loop.
- Pra qual valor de
esse trabalho do motor já não é mais necessário (ou seja, ele já chega “com gás” suficiente).
Conteúdo: mecânica (energia e trabalho) e condição de contato no topo do loop.
Passo 2
Primeiro a teoria de contato no topo: pra carrinho não “cair” na pista, a força normal
não pode ficar negativa. No ponto mais alto do loop temos
Como
, isso implica
Para garantir só o contato mínimo (normal zero), basta
Passo 3
Agora partimos da conservação de energia, incluindo o trabalho
do motor na subida. Pegamos o ponto de partida (base) e o ponto de chegada (topo):
Energia inicial + Trabalho do motor = Energia final
Energia inicial + Trabalho do motor = Energia final
Aqui
é o ganho de energia potencial ao subir dois raios. Substituindo
:
Isolando
:
Passo 4
Como trabalho mínimo não pode ser negativo (o motor não “puxa” pra trás), a fórmula acima vale somente se
. Se
, já sobra energia e não precisa de trabalho adicional do motor.
Resposta
Trabalho mínimo do motor na subida:
E não é necessário trabalho do motor quando